Материал: 864

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Эти значения параметра k называются собственными зна-

чениями или характеристическими числами задачи, а соответствующие им ненулевые решения yk (x) собственными (характеристиче-

скими) функциями задачи. В результате имеем задачу нового типа – задачу о собственных значениях. Многие линейные однородные краевые задачи, встречающиеся в физических приложениях, включают параметр и имеют вид

y p(x)y q(x)y y 0;

0 y(a) 1y (a) 0;0 y(b) 1y (b) 0,

где не зависящий от x параметр, остальные функции определены в пояснениях к формулам (5.39), (5.40).

Нулевые решения y 0 существуют для всех значений параметра , кроме того, возможно, что для некоторых значений параметра существуют ненулевые решения.

Пример 47. Исследовать краевую задачу

y y 0;	(5.49)
y(0) 0; y(l) 0.	(5.50)

Решение. Исследовать краевую задачу означает найти такие значения параметра , при которых существуют нетривиальные (ненулевые) решения уравнения (5.49), удовлетворяющие краевым условиям (5.50), т. е. требуется найти собственные значения и собственные функции краевой задачи (5.49), (5.50).

Возможны три случая: 0; 0; 0.

1. 0.

Решаем уравнение y y 0. Уравнения такого типа были рассмотрены в подразделе 3.3 (примеры 20 23), поэтому решение приводим без дополнительных пояснений.

k2 0 k

;

общее решение y(x) C e x C

1,2

Для краевых условий (5.50) имеем систему уравнений

С1 С2 0;

Так как

0, C1 0;C2

C e

l C

Тогда y(x) 0.

2. 0.

(x) C2

y(x) C2x C1.

В полученное

общее

y (x) 0 y

решение подставляем краевые условия (5.50):

	С 0;	C 0;	Следовательно, y(x) 0.
	1	1	Следовательно, y(x) 0.
C2l C1 0		C2 0.
3. 0.				2

		0. Тогда	k		k1,2	i.	Следовательно,
y	(x) y(x)	0. Тогда	k		k1,2	i.	Следовательно,

общее решение дифференциального уравнения есть функция

y(x) C1 cos x C2 sin x.

Так как краевые условия (5.50) должны удовлетворять этому решению, то имеем систему уравнений

С1 1 С2 0 0;

	l C2 sin	l 0
C1 cos

Будем считать, что C2 0, иначе

Тогда sin l 0 l k

C1 0;

C2 sin l 0.

y(x) 0.

k , k 1,2,....

Таким образом, ненулевые решения задачи (5.49), (5.50) возможны, если

k	( k)2	, k 1,2,3,...
	l2
Этим собственным	значениям соответствуют собственные
функции

yk (x) sin kx, k 1,2,3,....

Пример 48. Найти собственные значения и собственные функции для краевой задачи: y 2 y 0; y(0) 0; y (l) 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид r2 2 0, тогда r1,2 i и общее решение дифференциального уравнения есть функция

y(x) C1 cos x C2 sin x;следовательно,y (x) C1 sin x C2 cos x.

Подставляя в y(x) и y (x)		краевые условия, получаем систему урав-
нений, из которой определим C1,C2 :
	C1 C2 0 0;				С1 0;
					cos l 0.
C1 sin l C2 cos l 0				C2
Считаем, что C2 0		[иначе y(x) 0], тогда (принимая C2 1)
cos l 0 cos l 0 l			k l			(1 2k), k 0,1,2,...

		2			2

Таким образом, нетривиальные (ненулевые) решения краевой

задачи возможны, если

k (2k 1) ; k 0,1,2,...

Собственным значениям k соответствуют собственные функ-

ции

yk (x) sin (2k 1) ; k 0,1,2,...

Пример 49. Найти минимальное значение силы Pкр (критиче-

ской силы), при котором происходит продольный изгиб стержня постоянной жесткости EI под действием сжимающей силы P, направленной вдоль оси стержня. Левый конец стержня (x=0) заделан, а правый (x=l) оперт.

Решение. Из курса сопротивления материалов известно, что величина отклонения стержня от его оси y y(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению

y(4)	P	y 0,	(5.51)

где P – параметр.	EI

В соответствии с условиями на концах стержня выполняются
краевые условия (случаи 2 и 3):
y(0) y (0) 0; y(l) y (l) 0.			(5.52)

С математической точки зрения вопрос сводится к определению наименьшего положительного значения параметра P, при котором линейная однородная краевая задача (5.51), (5.52) имеет ненулевое решение.

Найдем общее решение уравнения (5.51). Это линейное однородное уравнение четвертого порядка. Уравнения такого типа были рассмотрены в подразделе 3.3 (примеры 25, 26, 27). Согласно алгоритму, составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

k2 0 k2(k2

) 0 k

0; k

3,4

1,2

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид

y(x) C1 C2x C3 cos x C4 sin x;

(5.53)

(5.54)

Продифференцируем равенство (5.53):

y (x) C2

C3 sin x C4 cos x.

(5.55)

Подставляя первые два краевых условия (5.52) в (5.53) и (5.55),

имеем

С1 C3 0;

C ;C

C2 C4 0

Тогда общее решение (5.53) можно записать в виде

y(x) C C

x C cos x

sin x

или

sin x

y(x) C (1 cos x) C

(5.56)

Дважды дифференцируя функцию (5.56), получаем

cos x C2 sin x.

(5.57)

(x) C1

Подставляем краевые условия (5.52) для правого конца стержня

в функции (5.56), (5.57), получаем систему уравнений

sin l

С1

(1 cos l) C2(l

) 0;

sin l

C cos l C

Эта система линейных однородных уравнений имеет ненулевые

решения, если определитель системы равен нулю, т. е.

sin l

1 cos l

cos l

sin l

Раскрывая определитель, получаем sin l lcos l 0.

Преобразуем это уравнение к виду

tg l l. (5.58)

Наименьший положительный корень трансцендентного уравнения (5.58) равен приближенно 4,493, т. е.

l 4,493.

(5.59)

Подставим в формулу (5.59) соотношение (5.54), учитывая, что P Pкр, имеем

Pкр l ,

откуда

Pкр l2 2. EI

Из полученного равенства находим искомую критическую силу:

P	2EI	20,187	EI	.

кр	l2		l2

Нижеследующие примеры иллюстрируют применение дифференциальных уравнений при решении задач экономического характера.

Пример 50. Эластичность и функция спроса.

Если известна эластичность спроса на некоторый товар, то мож-

но найти функцию спроса. Пусть эластичность q 1 для любых

значений спроса p. Найти функцию спроса.

Решение. Пользуясь определением эластичности, имеем

q	p	dx	,	(5.60)

	x dp

тогда получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

или

x dp

Интегрируем и получаем уравнение спроса:

3ln

lnC x3

px3

Получено общее решение; для определения C нужна дополни-

тельная информация, например,

p(2) 5. Тогда, очевидно,

C 40

и уравнение спроса принимает вид px3 40.

Пример 51. Найти функцию спроса, если известно значение це-

ны p в некоторой точке x и эластичность имеет вид q x 100, если x

0<x<100; p(10)=90.

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET
01. Основные понятия системного анализа и теории систем
04. Антигены
04. Антигены