Материал: 864

Так как v dS , то решение задачи Коши (5.2) можно преобразовать к dt

виду

Для определения постоянной интегрирования C2 используем начальные условия: при t=0 S S0 . Подставляя эти значения в равенство (5.4), получаем

S0 0 0 C2,

или C2=S0. Таким образом, уравнение движения (5.4) принимает вид

Sh,то получаем закон свободного падения тела в пустоте:

vgt; h 1 gt2 .

2

В разделе 4 пособия была рассмотрена нормальная система дифференциальных уравнений (4.1). С механической точки зрения эта система задает поле скоростей движений, где t – время; x1,x2,...,xn прямоугольные координаты точки фазового пространства.

Решение системы есть функции

51

x1 1(t,t0,x10,x20,...,xn0);

........................................ (5.6)

xn n(t,t0,x10,x20,...,xn0),

определяющие в любой момент времени t положение движущейся точки, которая в начальный момент времени t0 занимала положение

(x10,x20,...,xn0). При такой интерпретации система (4.1) называется динамической, а каждое ее решение (5.6) – движением. Кривая, описываемая точкой при движении, называется траекторией движения.

Уравнения (5.6) задают траекторию движения в параметрическом виде, t – параметр. Отметим, что при n = 2 имеем движение в плоскости (x1,x2), при n = 3 имеем движение в пространстве

(x1,x2,x3).

В общем случае в дифференциальные системы уравнений могут входить производные высших порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших порядков.

Пример 37. Задача о движении материальной точки под действием силы F, рассматриваемая в теоретической механике, сводится к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка. Обозначим через Fx,Fy,Fz проекции силы F на оси координат. Положе-

ние точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z, которые являются функциями от времени t; проекции вектора

скорости на оси координат есть dx,dy ,dz (в теоретической механике dt dt dt

их обычно обозначают через x, y,z).

Пусть сила F (а следовательно, и ее проекции) зависит от времени t, положения x, y,z точки и скорости движения точки. Тогда математической моделью поступательного движения материальной точки массы m, согласно закону Ньютона, является система трех дифференциальных уравнений второго порядка:

52

Решением этой системы являются функции x(t,C10,C20); y(t,C10,C20); z(t,C10,C20), которые дают траекторию движения точки в пространстве R3, константы C10,C20 определяются из начальных условий.

Очевидно, что в случае плоского движения, когда траекторией является кривая в плоскости XOY, имеем систему

Заметим, что решать систему дифференциальных уравнений высших порядков можно путем сведения ее к системе дифференциальных уравнений первого порядка или в некоторых конкретных случаях используя искусственные приемы.

Получим систему вида (5.8) для решения конкретной задачи: тело брошено под углом к горизонту и движется в среде, сопротивление которой пропорционально скорости v тела; найти траекторию движения.

Решение. В любой точке M(x, y) траектории на тело действуют две силы: тяжести P mg и сопротивления среды F kv(рис. 1).

Y

F M(x,y)

.

Рис. 1

Найдем проекции на оси координат равнодействующей этих сил

Fp :

53

Поскольку v ds , то систему (5.10) можно записать в виде dt

dx

;Fpx k

Тогда, согласно второму закону Ньютона [см. формулу (5.8)], имеем дифференциальные уравнения движения

Каждое из дифференциальных уравнений, входящих в систему (5.11), содержит только одну неизвестную функцию, поэтому интегрирование системы сводится к интегрированию по отдельности каждого из уравнений системы. Первое уравнение системы есть линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, второе – линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Уравнения такого типа были рассмотрены в подразделе 3.3, поэтому приводим решение уравнений

уравнения системы (5.11).

Решаем второе уравнение системы (5.11):

54

Подставляем в уравнение y ,(y ) ,(y ) и находим значение A:

gmt. Таким образом, получили общее решение системы (5.11): k

Найдем частное решение системы (5.11), используя начальные условия: x(0) 0; y(0) 0;x (0) v0 cos ; y (0) v0 sin .

Подставим первые два из начальных условий в общее решение (5.12), получим систему

0 C1 C2;

(5.13)

0 C3 C4.

Из системы (5.12) имеем, дифференцируя оба уравнения систе-

мы:

k

dx k C2e m ;

dt m t

Тогда, используя два последних равенства из начальных условий, получаем

Из систем (5.13) и (5.14) находим произвольные постоянные:

55