Материал: 862

следует заметить, что если касательная проходит через первый и третий квадранты, то она положительная, а если через II и IV – отрицательная, как показано на рис. 11.

Рис. 11. Геометрическая интерпретация определения знака первой производной от рассматриваемой функции

Рис.12. Второе достаточное условие существования экстремума одномерных функций

Для определения типа экстремума используют следующее правило: если при переходе через “подозрительную” на экстремум точку первая производная меняет свой знак с плюса на минус, то в рассматриваемой точке x=x0 существует локальный максимум, как показано на рис. 12, а, и

50

имеет минимум, если наблюдается обратное чередование знаков первой производной при переходе “стационарной” точки (рис. 12, б). Если проще вычислить более высокие частные производные то применяют третье достаточное условие.

3. Если вторая производная в “подозрительной” на экстремум точке x=x0 имеет знак плюс, то в рассматриваемой точке x=x0 существует локальный минимум (рис. 13, а), а если эта величина отрицательная, т.е. имеет знак минус, то – локальный максимум (рис.13, б). В обобщенном виде это правило формулируется следующим образом: если первая отличающаяся от нуля производная нечетная, т.е. первая, третья, пятая и т.д., то в рассматриваемой точке экстремума нет, а если эта производная четная, то в рассматриваемой точке максимум, если она отрицательная, и минимум при её положительном значении.

Рис. 13. Третье достаточное условие существования экстремума одномерной функции

Для более прочного запоминания этого правила целесообразно привести следующий механический аналог: если на пути вертикального потока дождя встречается вогнутая поверхность, то в ней вода накапливается и её присутствие в емкости можно обозначить знаком плюс, а если при прочих равных условиях капли дождя попадают на выпуклую поверхность, то они с неё скатываются, не задерживаясь на поверхности.

Этот факт – отсутствие воды на поверхности емкости, ориентированной выпуклостью вверх, – можно условно обозначить знаком минус. На основе этой аналогии третье достаточное условие

51

экстремальности одномерных функций получило название “правило дождя”.

4.3. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов многомерных функций

Необходимым условием существования экстремума многомерных функций является равенство нулю её частных производных, т.е.

Для того чтобы определить, существуют ли в стационарных точках экстремумы, используют матрицу Гесса – матрицу, составленную из вторых смешанных частных производных рассматриваемой функции, которая в общем виде записывается следующим образом:

Определяющими здесь служат главные миноры матрицы Гесса. Главным минором матрицы называется определитель, составленный из К первых строк. Допустим, матрица

Если главные миноры матрицы Гесса имеют чередующиеся знаки с минуса на плюс, то в рассматриваемой точке – локальный максимум, если главные миноры положительны, то в

52

рассматриваемой точке – минимум.

Если знаки главных миноров чередуются с плюса на минус, то в рассматриваемой точке располагается седло, как показано на рис. 14. Причем, по оси Х1 имеем минимум, а по оси Х2 – максимум. Если же чередование знаков главных миноров матрицы Гесса отличается от указанных, то в рассматриваемой точке нет экстремума.

Рис. 14. Геометрическая интерпретация седловой точки

4.4. Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть задана функция цели

Необходимо определить экстремум функции цели (46) в рамках следующих ограничений:

Необходимо определить значения неизвестных xi, при которых целевая функция достигает экстремума. Подобная задача встречается в инженерной практике при распределении исходных ресурсов по производствам. Задача определения экстремума функции (46) при условии выполнения системы ограничений (47), заданных в виде равенств, называется задачей на условный экстремум.

Если через n обозначить число неизвестных системы (46) – (47), а через m – количество ограничений (47), то их разность n-т дает так называемую степень свободы решаемой задачи. Обычно в подобных случаях n > m и решение осуществляют в такой последовательности.

Первые m неизвестных выражают через n-т остальных неизвестных, иначе

xm 1,xm 2,...,xn.

После чего оптимальное значение этих неизвестных подставляют в соотношение (47) и определяют остальные m неизвестных. Таким образом, задача решена.

В действительности на практике часто бывает невозможно выразить m первых неизвестных через остальные, т.е. получить соотношение (48). Потому задача на условный экстремум решается с использованием метода множителей Лагранжа, сущность которого сводится к следующему.

Пусть будет задана целевая функция

Здесь используют следующий прием: задача на условный экстремум сводится к классической за счет суммирования всех ограничений, умноженных на соответствующие коэффициенты, с функцией цели, т.е.

L(x) R(x1x2,...,xi ,....,xn ) j bj qj (x1x2 ,...xn ) max(min).(51)

j

Как видно из соотношения (51), функция цели от этой операции не изменяется, поскольку с ней суммируются нулевые члены, умноженные на соответствующие коэффициенты. Вновь вводимые коэффициенты называются множителями Лагранжа. Функция, приведенная в формуле (51), называется функцией Лагранжа.

54