Л. А. Усольцев
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
Омск●2008
Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
( СибАДИ )
Л.А. Усольцев
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
Омск Издательство СибАДИ
2008
1
УДК 519. 853 ББК 22.182.4 У 76
Рецензенты:
д-р техн.наук, проф. В.А Алексашенко (Центральный Научноисследовательский радиотехнический институт);
доц. Т. В. Гаранина (Зав. Кафедрой математики Омского танкового института)
Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия по дисциплине “Прикладная математика” для очной формы обучения студентов
Усольцев Л.А.
У 76 Прикладная математика: Учебное пособие. –Омск: Изд-
во СибАДИ, 2008. – 68с.
ISBN 978-5-93204-402-5
Рассмотрены вопросы общей постановки задачи математического программирования, её геометрической интерпретации, состава задач данного класса, а также математическая постановка задачи нелинейного программирования и методы её решения. В частности, в работе уделено внимание безградиентным и градиентным методам поиска экстремума одномерных и многомерных функций. Кроме того, отдельная глава посвящена составу и области применения аналитических методов поиска экстремумов, а более подробно рассмотрены методы, основанные на классическом математическом анализе и метод неопределённых множителей Лагранжа. Изложение материала ведётся на конкретных примерах решения прикладных инженерных задач.
Табл. 7. Ил.16 . Библиогр.: 6 назв.
ISBN 978-5-93204-402-5 |
©Л.А.Усольцев, 2008 |
2
ВВЕДЕНИЕ
В эпоху глобализации мировой экономики и усиления без того жесткой конкурентной борьбы на мировом экономическом пространстве становятся актуальными вопросы резкого повышения экономичности и эффективности планирования и управления в различных сферах хозяйственной деятельности нашей страны. Эти вопросы становятся первостепенными и особенно насущными накануне вступления России во Всемирную торговую организацию (ВТО), которая потребует на основе объективно сложившейся мировой практики конкурентноспособных товаров и услуг, если мы хотим оставаться активным игроком мирового рынка.
Эффективное решение этих неотложных, насущных вопросов тесно связано сегодня с масштабным техническим переоснащением различных отраслей промышленности и с широкой математизацией знаний как подготовительного этапа к повсеместному использованию информационно-компьютерных технологий для целей оптимизации, в первую очередь работы соответствующих систем.
Настоящее учебное пособие посвящено вопросам математического программирования, в частности нелинейному программированию, а также рассматриваются методы, основанные на классическом математическом анализе, и метод неопределённых множителей Лагранжа в рамках аналитических методов поиска экстремумов.
В первой главе уделено внимание математической постановке, геометрической интерпретации и составу задач математического программирования, дана краткая характеристика линейного и нелинейного программирования и выпуклости функций и множеств. В частности, при рассмотрении задач линейного программирования изложены аспекты целочисленного и частично-целочисленного линейного программирования, типы инженерных задач этого класса и методы их решения. Кроме того, приведен состав задач нелинейного программирования и методы их решения, в частности безградиентные и градиентные методы, а также кратко изложено динамическое программирование и принцип оптимальности Беллмана.
Во второй главе рассматриваются безградиентные методы решения задач нелинейного программирования для одномерных и многомерных функций, излагаются методы сканирования, локализации экстремума, золотого сечения и метод с использованием чисел Фибоначчи для одномерных функций, а также
3
детерминированные методы и методы случайного поиска, предназначенные для многомерных функций. При этом дана сравнительная точность поиска указанными методами.
Третья глава посвящена градиентным методам, в частности методам градиента, релаксаций и крутого восхождения (спуска). Приведены методики и алгоритмы решения задач нелинейного программирования рассматриваемыми методами, обращено внимание на детализацию и основные отличительные особенности.
В главе четвёртой рассматриваются аналитические методы поиска экстремумов одномерных и многомерных функций. Здесь приведен состав указанных методов и более подробно изложены методы, основанные на классическом математическом анализе, уделено внимание необходимым и достаточным условиям
существования экстремумов указанных функций |
и метод |
|||
неопределённых множителей Лагранжа. |
|
|
||
Рассмотрение |
излагаемых |
методов |
сопровождается |
|
соответствующими графиками и |
примерами, |
демонстрирующими |
||
решение конкретных инженерных проблем, которые в работе предлагаются в качестве типовых расчётов. В конце каждой главы приведен перечень вопросов для самоконтроля знаний студентов при закреплении изучаемого материала и подготовке к аттестации. Весь вспомогательный материал для удобства использования вынесен в приложения.
Автор благодарен своим коллегам по кафедре “Информационные технологии” Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии за замечания и подготовку рукописи к изданию.
4