Документ: 5223, страницы 21-25 | Студенческое хранилище

	b x f (x) dx	2 x						1						2			4
М ( Х )		2 x	x dx					1	x3								4	.
														0
		0 2				6										3
	a
	a
	b		2		x							1
М ( Х 2 )	x 2 f (x) dx		x 2		x			dx				1			x 4	2			2 .
М ( Х 2 )	x 2 f (x) dx		x 2					dx							x 4	2			2 .
	a		0	2							8					0
				2							8

D(X) = M(Х2) - [M (Х)]2 =				2 -			4 2			=	2		.
D(X) = M(Х2) - [M (Х)]2 =				2 -			3			=	9		.
							3				9

2

( Х ) D( Х ) 0,47.

9

F(x)

f(x)

1	1

2	X	2	X

г) для вычисления вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал (α ,β) можно применить одну из формул:

P ( α Х β)	F( )	F(α )				или P ( α			Х β)			f(x) dx .
Применим первую формулу
P (–1 < Х < 1) =	F(1) – F(–1) =				12			0	1		.
P (–1 < Х < 1) =	F(1) – F(–1) =					4		0		4	.
						4				4
Пример 2. Случайная величина Х задана плотностью
распределения:
		0,			x		1
			c		x		1
	f (х)		c	, 1		x	5	.
	f (х)	8		, 1		x	5	.
		8			x		5
		0,			x		5
		0,

Требуется: а) найти коэффициент С; б) функцию распределения F(x); Решение:

а) плотность распределения f(x) должна удовлетворять условиям:

f (x) 0,			f (x) dx		1.
Тогда			f (x) dx	1		0 dx					5 c		dx	0 dx			c	5 dx	c	x
				1							5 c						c		c		5
																					1
											1 8				8				8
											1 8			5	8			1	8
	c	(5	1)	4 c						1	C .
8		(5	1)	8					2		C .
8				8					2
Так как			f (x) dx						1			, следовательно			1	C 1, следовательно С = 2.
Так как			f (x) dx						1			, следовательно			2	C 1, следовательно С = 2.
															2
Таким образом,
					0,			x	1
					1			x	1
			f (х)		1		, 1		x		5 ;
			f (х)		4		, 1		x		5 ;
					4			x	5
					0,			x	5

б) для нахождения функции распределения F(x) воспользуемся формулой

x

F (x) f (x) dx .

									x
Если	х ≤ 1 ,	f(x) = 0,	то			F (x)				0 dx				0.
Если 1 < х ≤ 5,			1		x	1		x			х		1
			1		x
		F (x)	0 dx				dx							(x 1) .

					1 4			4			1	4
								4			1	4

Если	х > 1,		1		5 1			х
		F (x)	0 dx				dx			0 dx		1.
		F (x)	0 dx		1 4		dx	5		0 dx		1.
					1 4			5
			0,		x		1
Итак ,		F ( X )	x 1	, 1		x	5 .
Итак ,		F ( X )	4	, 1		x	5 .
			4		x		5
			1,		x		5

3. Законы распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [а, b], если на этом интервале её функция плотности имеет вид

	0,	x	a
	1	x	a
f (x)	1	, a x b .

	b a
	0,	x	b
	0,

Функция распределения для равномерного закона

	0,	x	a
	x a
F (x)		, a x b .
	b a
		x	b
	1,

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам

	b	a			(b a) 2
М(Х) =			;	D(Х) =		.
		2			12

Пример 1. Поезда метро идут строго по расписанию. Интервал движения – 5 минут. Составить f(х) и F(х) случайной величины Х – времени ожидания очередного поезда и построить их графики. Найти М(Х), D(Х).

Решение: Случайная величина Х – время ожидания очередного поезда. Величина Х распределена равномерно на отрезке [0,5], поэтому

	0,		x	0		0,		x	0
	1		x	0		x		x	0
f (x)	1	, 0 x 5 .			F (x)	x	, 0 x 5
f (x)	5	, 0 x 5 .			F (x)	5	, 0 x 5
	5		x	5		5		x	5
	0,		x	5		1,		x	5
	0,					1,
f(x)					F(x)
					1
0,2
0,2

			5	X			5		X

М(Х) =	5	0	2,5	D(Х) =	(5	0) 2		25	2,08.
		2
						12	12
						12	12

Нормальное распределение

Закон нормального распределения должен быть изучен наиболее

основательно, т.к. он часто применяется в теории и практике.

Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному

закону, если её плотность распределения вероятностей выражается

формулой

1

( x a)2

f(х) =

e

2

.

2

Параметры а

и

σ

имеют следующий вероятностный смысл:

а = М(Х),

σ 2= D(Х),

σ = D(x) .

График плотности нормального распределения называют

нормальной кривой (кривой Гаусса).

Функция ƒ(х) определена на всей оси Х.

При любых значениях Х функция принимает положительные

значения, т.е. лежит выше оси ОХ.

Точка (а,

1

) – точка max.

2

Точки перегиба (а-σ,

1

) и (а+σ,

1

).

Probability Density Function

2 e

y=normal(x;0;1)

0,60

Y

0,45

0,30

0,15

0,00

-3,50

a-1,75

a0,00

a 1,75

X

3,50

	1		x	2
Если функция Лапласа задаётся формулой Ф(х) =			e t		/ 2 dt , то


	2
		0

для нормально распределённой случайной величины

Р (		< Х < ) = Ф			a	– Ф	a	.



Р(	Х	а	< ) = 2Ф	.
Р(	Х	а	< ) = 2Ф	.

Пример 2. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали

равна а = 35,

среднее квадратическое отклонение σ = 4. Требуется:

а) составить функцию плотности вероятностей;

б) найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет

больше

=34

и меньше

= 40;

в) найти вероятность того, что диаметр детали отклонится от

стандартной длины не более чем на

= 2.

1

( x 35)2

а) f(х) =

е

32

;

4

2

б) Р(34 < Х < 40 ) = Ф

40 35

- Ф

34 35

= Ф (1,25) + Ф (0,25) =

4

= 0,3944 + 0,0987 = 0,4931;

в) Р (

х

35

< 2 ) = 2Ф

2

= 2Ф (0,5) = 0,3829.

4

ТЕМА 6. ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

Проведение экономических исследований связано с изучением свойств различных совокупностей однотипных объектов (людей, предприятий, товаров и т.п.). При этом каждый объект, входящий в состав совокупности, характеризуется некоторым числом — величиной изучаемого признака X. Для обозначения таких совокупностей вводится понятие генеральной совокупности.

Под генеральной совокупностью понимается вся совокупность однотипных объектов, которые изучаются в данном исследовании.

Однако на практике в большинстве случаев мы имеем дело только с частью возможных наблюдений, взятых из генеральной совокупности.

Выборка (выборочная совокупность) — это совокупность случайно отобранных объектов, составляющих лишь часть генеральной совокупности.

Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

Например, из 1 000 изделий отобрано для обследования 100 изделий, объем генеральной совокупности N=1 000, а объём выборки n=100.

В зависимости от способов отбора объектов из генеральной совокупности различают несколько типов выборок. Их типы, определения, свойства, примеры использования рекомендуется изучить самостоятельно.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причём х1

	k
наблюдалось n1 раз, x2 – n2 раз,..., хk – nk раз и	ni n – объём выборки.
i	1

Материал: 5223

Смотрите также: