Документ: 5223, страницы 16-20 | Студенческое хранилище

Решение:

а) по формуле

	n
M ( Х )	xi pi находим математическое ожидание Х:
	i 1

М(Х) = 2 × 0,2 + 4 × 0,1			+ 5 × 0,3 + 7 × 0,4 = 5,1;
				M (Х2) - [ M(Х)]2
б) по формулам		D(Х)	=	M (Х2) - [ M(Х)]2	и	( Х )	D( Х ) найдем
дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
n		= 22 × 0,2 + 42 × 0,1 + 52 × 0,3 + 72 × 0,4 = 29,5.
M ( Х 2 )	x2i p	= 22 × 0,2 + 42 × 0,1 + 52 × 0,3 + 72 × 0,4 = 29,5.
	i
i 1
	- (5,1)2 = 3,49 ;
D(Х) = 29,5	- (5,1)2 = 3,49 ;			(Х) = 3,49 =	1,87;
в) по определению F(x)			= P(X < x ) , т.е. F(x)		есть вероятность того, что
случайная X примет значение меньше, чем х.
Если х 2, то F(x) = P(X < 2) = 0.
Если 2 < x	4, то F(x) = P(X < 4) = P(X=2) = 0,2.
Если 4< x	5, то F(x) = P(Х < 5) = P(X=2)+(X=4) = 0,2+0,1 = 0,3.

Если 5< x 7, то F(x) = P(Х<7)= P(X=2)+P(X=4)+P(X=5)=0,2+0,1+0,3 = 0,6. Если x>7, то F(x) = P(Х<7) = P(X=2) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=7) =

= 0,2+0,1+0,3+0,4	= 1.
Построим график F(x):
			Y
			1
0,	x	2
0,2,	2	x	4
			0.6
			0.6
F (x) 0,3,	4	x	5
0,6,	5	x	7
1,	x	7	0.3
			0.2
			0.2
			2	4 5	7	X

Пример 2. В магазине куплено 3 электроприбора: чайник, утюг и пылесос. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока для каждого из них соответственно равны р1=0,05, р2=0,1, р3 = 0,2. Составить закон распределения случайной величины Х – числа приборов, вышедших из строя в течение гарантийного срока.

Решение: Х – число приборов, вышедших из строя, имеет следующие возможные значения:

х1=0 – все три прибора не выйдут из строя в течение гарантийного срока; х2=1 – один прибор выйдет из строя; х3=2 – два прибора выйдут из строя; х4=3 – три прибора выйдут из строя.

Найдём соответствующие этим значениям вероятности. По условию вероятности выхода из строя приборов равны:

р1=0,05; р2=0,1; р3=0,2, тогда вероятности того, что приборы будут рабочими в течение гарантийного срока равны:

q1 = 1 – p1 = 1 – 0,05 = 0,95; q2 = 1 - p2 = 1 – 0,1 = 0,9; q3 = 1 – p3 = 1 – 0,2 =

0,8.

P1

(X=0) = q1 ∙ q2

∙ q3 = 0,95 ∙ 0,9 ∙ 0,8 = 0,684.

P2

(X=1) = q1 ∙ q2

∙ p3

+ q1 ∙ p2 ∙ q3

+ p1 ∙ q2 ∙ q3 = 0,95 ∙ 0,9 ∙ 0,2

+ 0,95 ∙ 0,1 ∙

0,8 + 0,05 ∙ 0,9 ∙ 0,8

= 0,283.

P3

(X=2) = p1 ∙ p2

∙ q3

+ p1 ∙ q2 ∙ p3

+ q1 ∙ p2 ∙ p3 = 0,05 ∙ 0,1 ∙ 0,8

+ 0,05 ∙ 0,9

0,2 + 0,95 ∙ 0,1 ∙ 0,2 = 0,032.

P4

(X=3) = p1 ∙ p2

∙ p3 = 0,05 ∙ 0,1 ∙ 0,2 = 0,001.

Проверка:

P=P1(X=0)+P2(X=1)+P3(X=2)+P4(X=3)=0,684+0,283+0,032+0,001= 1

Закон распределения имеет вид:

X

0

1

2

3

p

0,684

0,283

0,032

0,001

Пример 3. Предприятие выпускает 90% изделий высшего сорта. Составить закон распределения случайной величины Х – числа изделий высшего сорта из трёх, взятых наудачу изделий. Найти M(X), D(X), (Х). Решение: Случайная величина Х – число изделий высшего сорта среди трёх отобранных изделий может принимать одно из значений: 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:

Pn(X=m) = Cnm pm qn-m , такое распределение называют биноминальным.

Известно, что n = 3 ;			p = 0,9; q = 0,1; m = 0,1,2,3, тогда
P1(X=0) =	(0,1)3 = 0,001.
P2(X=1) =	C31	∙	0,91	∙	0,12 = 0,027.
P3(X=2) =	C32	∙	0,92	∙	0,1 = 0,243.

P4(X=3) = 0,93 = 0,729.

Проверка:

Р= Р3(Х=0)+Р3(Х=1)+Р3(Х=2)+Р3(Х=3)= 0,001+0,027+0,243 +0,729 = 1.

Закон распределения случайной величины Х:

X	0	1	2	3
P	0,001	0,027	0,243	0,729

M(X), D(X),	(X)	случайной величины, распределённой по
биноминальному закону, находятся по формулам:

M(X) = np ,		D(X) = npq ,	(X) =	n p q .

M(X) = 3 ∙ 0,9	= 2,7;	D(X) = 3 ∙ 0,9 ∙ 0,1 = 0,27;	(X) =	0,27 = 0,53.

Пример 4. На сборку поступило 30 деталей, из них 25 стандартных. Сборщик берёт наудачу 3 детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трёх отобранных.

Решение: Возможные значения случайной величины Х:

Х1 = 0, Х2 = 1, Х3 = 2, Х4 = 3.

Вероятности этих значений вычисляются по формуле

Cm Cr m

Рn(Х=m) = s rn s ,

Cn

где n – число элементов множества,

s – число элементов множества, обладающих фиксированным свойством;

r – число отобранных элементов;

m= 0, r – число элементов с фиксированным свойством, оказавшихся в выборке. Такое распределение называют гипергеометрическим.

	C0	C3	1
P3(X = 0) =	25	5
	3		406
	С30
	C 2	C1	150
P3(X = 2) =	25	5
	3		406
	С30

.	P3(X = 1) =	C125 C52					25		.
.	P3(X = 1) =			3			406		.
			С30
			С3		C0		230
		25				5	230
.	P3(X = 3) =	25				5				.
.	P3(X = 3) =			3				406		.
			С30

Проверка: Р = Р3(Х = 0)+Р3(Х = 1)+Р3(Х = 2)+Р3(Х = 3) =
1	25	150	230	1 .

406	406	406	406
406	406	406	406
Закон распределения случайной величины Х:
	X	0	1	2	3
	P	1	25	150	230

		406	406	406	406

	Пример 5: Независимые случайные величины Х и У заданы законами
распределения:
Х		1	3	4	Y	0	2	3
p		0,1	?	0,6	P	0,2	0,4	?

а) найти P(X=3), P(Y=3);

б) составить закон распределения случайной величины Z = X + Y. Найти M(Z), D(Z) и проверить выполнение свойств M (X+Y) = M(X) + M(Y); D(X+Y) = D(X) + D(Y);

в)	составить закон распределения V = X							Y. Найти M(V)			и проверить
выполнение свойства M(X Y) = M(X) M(Y).
Решение:			а) Так как
P(X=1) + P(X=3) + P(X=4) = 1, P(Y=0) + P(Y=2) + P(Y=3) = 1,
то		P(X=3) = 1 – (0,1 + 0,6) = 0,3,				P(Y=3) = 1 – (0,2 + 0,4) = 0,4.
Запишем законы распределения случайных величин X и Y, с учётом их
вероятностей:
Х		1		3	4		Y		0	2	3
p		0,1		0,3	0,6		P		0,2	0,4	0,4

б) суммой случайных величин X и Y называется случайная величина Z = X + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения величины X с каждым возможным значением величины Y. Если X и Y независимы, то вероятности возможных значений Z = X + Y равны произведениям вероятностей слагаемых.

Z=X+Y

1+0=1

1+2=3

1+3=4

3+0=3

P

0,1 ∙ 0,2=0,02

0,1 ∙ 0,4= 0,04

0,1 ∙ 0,4=0,04

0,3 ∙ 0,2=0,06

3+2=5

3 + 3= 6

4 +0 = 4

4 + 2 =6

4 + 3= 7

0,3 ∙ 0,4=0,12

0,6 0,2= 0,12

0,6 ∙ 0,4=0,24

Одинаковые значения величины Z объединяем, складывая их вероятности. Закон распределения случайной величины Z будет иметь вид:

Z=X+Y

1

3

4

5

6

7

P

0,02

0,1

0,16

0,12

0,36

0,24

M(Z) = 1 · 0,02

+

3 ·0,1

+ 4 · 0,16

+ 5 · 0,12

+ 6 · 0,36

+ 7

· 0,24

= 5,24

Или М(Z) = M(X) + M(Y), где

M(X) = 1

· 0,1

+

3

· 0,3 + 4 · 0,6 = 3,4

M(Y) = 0

· 0,2

+

2

· 0,4

+ 3 · 0,4 = 2

Тогда M(Z) = 3,4 + 2 = 5,4

Вычислим дисперсию случайной величины Z по формуле

D(Z) = M(Z2) –

[ M(Z)]2, где

M(Z2) = 1 · 0,02+9 · 0,1+16 · 0,16 +25 · 0,12+36 · 0,36+43 · 0,24 = 31,2. Тогда D(Z) = 31,2 – (5,4)2 = 2,04.

Или D(Z) = D(X) + D(Y), где

D(X) = 1 ∙ 0,1 + 9 ∙ 0,3 + 16 ∙ 0,6 – (3,4)2 = 0,84 D(Y) = 0,2 ∙ + 4 ∙ 0,4 + 9 ∙ 0,4 – (2)2 = 1,2

Таким образом D(Z) = 0,84 + 1,2 = 2,04;

в) составим закон распределения V = X ·Y.

Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина V = X · Y , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y . Если X и Y независимы, то вероятности возможных значений V = X · Y равны произведениям вероятностей сомножителей.

V=X∙Y	1·0=0	1·2=2		1·3=3		3·0=0	3·2=6		3·3=9	4·0=0			4·2=8	4·3=12
P	0,02	0,04		0,04		0,06	0,12	0,12		0,12			0,24	0,24
Одинаковые значения величины V = X · Y									объединяем,			складывая их
вероятности.
Закон распределения V = X ·Y записываем так:
V=X ∙Y	0		2		3		6		8			9		12
V=X ∙Y	0		2		3		6		8			9		12
P	0,2		0,04		0,04		0,12		0,24		0,12			0,24

Найдём

M(V) = 0 · 0,2 + 2 · 0,04 + 3 · 0,04 + 6 · 0,12 + 8 · 0,24 + 9 · 0,12 + 12·0,24 = 6,8.

Или М(V) = M(X) ∙ M(Y) = 3,4 ∙ 2 = 6,8.

2. Непрерывная случайная величина.

Пример 1: Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

	0,	x	0
	x2
F (х)		, 0 x 2 .
	4
		x	2
	1,

Требуется:

а) найти функцию плотности распределения f(x);

б) найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ (Х);

в) построить графики функций f(x) и F(x);

г) найти P(–1 < Х < 1).

Решение:

а) по определению функции плотности вероятности f(x) = F(x) , тогда

	0,		x	0
	x
f (х)		,	0	x 2 ;
	2
			x	2
	0,

б) для непрерывной случайной величины

Материал: 5223

Смотрите также: