Материал: 5223

2. Событие В – все три изделия различного сорта, выразим так В= А1 А2 А3 , тогда Р(В )=0,8 0,7 0,5=0,28.

ТЕМА 3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА

1. Формула полной вероятности

Если событие А может произойти с одной из попарно несовместных гипотез Н1, Н2,….Нn, образующих полную группу, то вероятность появления события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

P(A) = P(H1) × PH1(A) + P(H2) × PH2(A) + ….+ P(Hn) × PHn(A),

Пример 1. Фирма имеет три источника поставки комплектующих

– фирмы А, В, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объёма поставок, В – 30% и С–20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей – бракованные, фирмой В – 5% и С – 6%. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь будет бракованной.

Тогда, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность равна

2. Формула Байеса

Формула Байеса определяет условную вероятность появления гипотезы Hi, при условии, что событие А уже произошло:

Пример 2. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали только 1% неправильно заполненных накладных. Остальные 10% пачек были признаны неудовлетворительными, так как содержали 5% неверно оформленных накладных. Взятая наугад из пачки накладная оказалась оформленной неверно. Учитывая это, какова вероятность того, что вся пачка накладных будет признана несоответствующей стандарту?

Решение: Испытание: проверяется пачка накладных. Событие А – взятая наугад накладная оказалась неверной. Гипотеза Н1 – пачка не соответствует стандарту.

Гипотеза Н2 – пачка соответствует стандарту.

Необходимо узнать вероятность гипотезы Н1 при условии, что событие А произошло. Согласно формуле Байеса имеем:

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, событие А

наступит ровно m раз, вычисляется по формуле Бернулли:

Pn (m) = Cnm pm q n-m , где q = 1 – p.

Пример 1. Вероятность выигрыша по одному любому лотерейному билету равна 0,02. Чему равна вероятность выигрыша для владельца а) по

2. Локальная теорема Лапласа

При большом числе испытаний для решения подобных задач применяется локальная формула Лапласа.

Функция φ (х) – чётная, т.е. φ(-х) = φ (х). Функция φ (х) табулированная на отрезке [0; 4], поэтому для х ≥ 4 функция φ (х) ≈ 0.

В приложении 1 приведена таблица значений этой функции.

Пример 2. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 90%. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 100 изделий высшего сорта окажется 84 изделия.

Решение: n = 100; p = 0,9; q = 0,1; m = 84; n p = 90.

3. Теорема Пуассона

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании стремится к 0 (р→0) при неограниченном увеличении числа испытаний (n→∞), причём произведение n∙p стремится к постоянному числу λ = n∙p, то вероятность Рn(m) того, что событие А из n испытаний наступит m раз находится по формуле

В приложении 2 приведена таблица значений этой функции. Пример 3. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды.

Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок:

= 0,0498 + 0,1494 = 0,1992 ;

в) P1000 (m>1) = 1 - P1000 (m ≤ 1) = 1 – [ P1000 (0) + P1000 (1)] = 0,8008 ; г) P1000 (m ≥ 1) = 1 - P1000 (0) = 1 – 0,0498 = 0,9502.

4. Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность р наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что событие наступает не менее m1 раз и не более m2 раз приближенно равна

80%. Найти вероятность того, что в партии из 900 изделий высшего сорта будет: а) заключено между 700 и 750 ; б) не меньше 750; в) не больше 600.

5. Наивероятнейшее число появления события

Если n – число независимых испытаний, р – вероятность наступления события А в отдельном испытании, то наивероятнейшее число появления события А m0 удовлетворяет неравенству

n p – q ≤ m0 ≤ n p + p.

Пример 5. Предприятие поставляет свою продукцию 15 магазинам, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,6 независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок.

Решение: n = 15; p = 0,6; q = 0,4.

15 0,6 - 0,4 ≤ m0 ≤ 15 0,6 + 0,6; 8,6 ≤ m0 ≤ 9,6 ; m0 = 9.

ТЕМА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

1. Дискретная случайная величина

Найти: а) математическое ожидание М(Х);

б) дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение (Х); в) составить функцию распределения F(х) и построить её график.