Материал: 4419
A |
150 exp(0,175 1,5) 195,03. |
|
По формуле (3.1) i |
exp(0,175) 1 |
0,19. |
Пример З.2. Накопление происходит |
при переменной силе процента, |
|
определяемой формулой
(t) a bt
в год. Найти a, b , если известно, что сумма 100 у. д. е. даёт накопление
125 у. д. е. за 1,3 года, 175 у. д. е. за 2,5 года.
Решение: Согласно формуле (3.4)
|
|
1,3 |
|
|
|
bt 2 |
|
1,3 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
125 |
100 exp |
(a bt)dt 100 exp (at |
|
) |
|
|||||
0 |
|
2 |
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 exp(1,3a |
1 |
b 1,32 ), |
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175 |
100 exp(2,5a |
|
1 |
b 2,52 ). |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Логарифмируя полученные равенства, имеем
n1,25 |
1,3a 0,845b, |
n1,75 |
2,5a 3,125b. |
Решая систему, получим a |
0,53; b 0,222 , |
то есть (t) 
0,053 0,222t .
Пример 3.3. Процентная ставка в год равна 15 %. Найти экви-
валентную ей годовую процентную ставку, конвертируемую ежеквар-
тально.
Решение. Воспользуемся формулой (3.3) при р = 4:
21
i(4) |
(1 |
0,15) 14 |
1 |
4 |
|
(1,036 1) |
4 |
0,14. |
||||||
Пример 3.4. При |
i |
0,25 |
найти, |
эквивалентную |
процентную ставку, |
|||||||||
конвертируемую раз в 30 дней. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: Согласно формуле (3.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
30 |
|
|
|
365 |
30, |
|
|
|
||
|
1 |
0,25 |
(1 |
|
|
i |
|
|
) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
365 |
30 |
365 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
30 |
365 |
|
365 |
|
|
|
||
|
i30365 |
(1 |
0,25) |
1 |
|
|
|
0,23. |
||||||
|
|
|
30 |
|
||||||||||
Если известна сила процента (t) ,то текущая или дисконтированная стоимость P накопленного капитала A находится по формуле
P A 
e
t
0
(t )dt
, |
(3.6) |
дисконтирующий множитель
t
V (t) e 0
(t)dt
. |
(3.7) |
Если сила процента постоянна, то есть (t) |
, то |
|||
P A e |
t |
A |
, |
|
|
(1 i)t |
(3.8) |
||
|
|
|
|
|
V (t) |
|
1 |
|
(1 d )t e |
t , |
(3.9) |
|
|
|
||||
|
|
i)t |
||||
(1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
22 |
где i – процентная ставка; d – учётная ставка в единицу времени.
Довольно часто в высшем финансовом анализе используется модель силы процента, определяемая формулой Студли:
(t) p |
s |
|
|
|
|
. |
(3.10) |
||
1 re st |
||||
|
||||
|
|
|
Формула (3.10) обладает тем замечательным свойством, что дисконтирующий множитель V (t) равен среднему взвешенному двух дисконтирующих множителей с постоянной силой процента:
V (t) |
|
1 |
|
e |
( p s)t |
r |
e |
pt . |
(3.11) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 r |
|||||
1 |
|
r |
|
|
|
|
|||
Пример 3.5. Пусть:
1.Сила процента равна 8 % в год.
2.Сила процента является кусочно-постоянной функцией:
0, 12, 0 t 5,
(t) |
0, 08, 5 t 10, |
0, 04, t 10,
в год..
Найти текущую стоимость суммы 750 у.д.е, накопленной за 20 лет.
Решение.
1. По формуле (3.8)
P 750 
e 0,08t 750 
e 0,08 20 151,42 .
23
2. По формуле (3.6)
|
|
|
20 |
|
|
|
|
5 |
10 |
20 |
P |
|
750exp |
|
(t)dt |
750exp |
0,12dt |
0,08dt |
0,04dt 750exp |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
5 |
10 |
( |
5 |
0,12 |
0,08 |
5 |
0,04 |
10) |
184,95. |
|
|
|
|
|
3.4. |
Потоки |
наличности |
|
|
|
|
||
Потоки наличности подразделяются на непрерывные и дискретные.
Дискретный поток наличности определяется моментами времени t1, t2 ,...,tn и вложениями (выплатами или поступлениями)денег
Ct1 , Ct2 ,..., Ctn .
Непрерывные потоки определяются нормой вложений (t) :
(t) Ф/ (t) ,
где Ф(t) – накопление капитала за время t . |
|
|||
Текущая стоимость на момент времени t |
0 для дискретного потока |
|||
наличности равна |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
A(0) |
Ct j |
V (t j ) , |
(4.1) |
|
j |
1 |
|
|
|
t |
|
|
|
для непрерывного – |
A(0) |
V (t) |
(t)dt , |
(4.2) |
|
0 |
|
|
|
гдеV (t) дисконтирующий множитель, определяемый формулой (3.7).
Пусть A(t1 ) – текущая стоимость потока наличности на момент времени
t t1 . Тогда текущая стоимость данного потока наличности на момент времени t t2 находится по формуле
24
A(t2 ) A(t1 ) |
V (t1 ) |
. |
(4.3) |
|
V (t2 ) |
||||
|
|
|
Пример 4.1. Пусть
(t) |
0,5, |
0 |
t 2, |
|
0,3, |
t |
2 |
||
|
в год. Найти текущую стоимость на момент t 0 непрерывно потока наличности за 5 лет при норме 
1в год начиная с момента времени t 0.
Решение: Найдём вначале дисконтирующий множитель V (t) :
а) при 0 t 2
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (t) |
exp |
|
|
(t)dt |
|
exp( |
0,5dt) |
|
exp( |
|
0,5t |
t0 ) |
exp( 0,5t) |
||||||||||
б) при t |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (t) |
exp( |
0,5dt |
|
|
0,3dt) |
exp( |
0,5 |
2 |
|
0,3(t |
2)) |
exp( 0,4 |
0,3t) . |
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
V (t) |
|
|
e |
0,5t , |
|
0 |
t 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
e 0,4 0,3t , t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По формуле (4.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
||
|
|
5 |
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,5t |
|
|
e 0,4 |
0,3t |
|
||||
A(0) |
|
V (t)dt |
e |
0,5 t |
dt |
e |
0,4 |
0,3t |
dt |
|
|
|
e |
0 |
|
|
e |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
0,3 |
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(e 0,5 2 1) |
|
e 0,4 |
(e 1,5 |
|
e 0,6 ) |
|
2(1 |
e 1) |
|
10 |
(e 1 e 1,9 ) |
1,99. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0,5 |
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 4.2. Найти цену ежегодной ренты, выплачиваемой в размере
100 у. д. е. в конце каждого года пожизненно с правом наследования, если сила процента равна 7 % в год.
Решение: Данную ренту можно рассматривать как поток наличности,
25