Материал: 4419
C Co |
100(%), |
(1.9) |
|
Cot |
|||
|
|||
|
|
где Co – начальная сумма; C – накопленная сумма, t – время накопления. Тогда норма прибыли продавца
n |
P1 |
200 |
100 |
202,36 200 |
100 14,34(%). |
||
200 |
30 |
200 |
30 |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
365 |
|
|
365 |
|
|
Норма прибыли банка
|
A P1 |
100 |
204,6 |
202,36 |
100 10,1(%). |
|
P |
40 |
202,36 |
40 |
|||
|
|
|||||
1 |
365 |
|
|
365 |
|
|
|
|
|
|
|
3.2. Сложные проценты
Сложные проценты отличаются от простых, как известно, тем, что при простой процентной ставке i в единицу времени накопление за n
единиц времени находится по формуле
A P(1 i)n . |
(2.1) |
Если простые процентные ставки в различные единицы времени различны: i1 , i2 ,...,in то накопление за n единиц времени находится по формуле
A P(1 i1 )(1 i2 )...(1 in ). |
(2.2) |
Формулы (2.1) и (2.2) описывают круг задач на сложные проценты, то есть одна из величин находится, если заданы остальные. При этом дисконтирующий множитель V (n) имеет вид:
16
|
|
|
V (n) |
|
1 |
V n , |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
i)n |
||
|
|
|
(1 |
|
||
где V |
1 |
–- дисконтирующий множитель за 1единицу времени. |
||||
|
|
|||||
1 i |
||||||
Пример 2.1.Фактическая простая процентная ставка на настоящее время составляет 12 % в год, но через 2 года она понизится до 5 % в год.
Найти накопление вклада 2 000 у. д. е. за 4 года.
Решение: Согласно формуле (2.2)
A |
2000 (1 |
0,12)2 |
(1 |
0,05)2 |
2765,95. |
|
Иногда в реальной практике деловой жизни используются так |
||||||
называемые номинальные процентные ставки в единицу времени ih (t) |
на |
|||||
срок h от момента времени |
t . Величина ih (t) определяется так, |
что |
||||
фактическая простая процентная ставка на срок h равна h 
ih (t) , то есть
(2.3)
где P – начальный капитал; A – накопленный капитал.
Пример 2.2. Номинальная годовая процентная ставка на срок 3 дня
равна 10,8 % Найти накопление капитала 1 000 у. д. е.
Решение: По формуле (2.3) находим
A 1000(1 3365
0,108) 1000,89.
Определим коэффициент накопления. Для t2 t1 под величиной
A(t1,t2 ) (коэффициент накопления) будем понимать накопленную
стоимость единичной суммы за время t |
2 |
t |
от момента t |
1 |
. |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Из определения |
A(t ,t |
2 |
) и i (t) следуют формулы |
|
|
|||
|
1 |
h |
|
|
|
|
|
|
17
A(t, t h) 1 h 
ih (t) ,
ih (t) |
A(t,t |
|
h) 1 |
|
|
|
|
. |
|
|
h |
|
||
|
|
|
|
|
Накопление капитала P находится по формуле
A P A(t1, t2 ). |
(2.4) |
При нормально функционирующей экономике выполняется принцип согласованности, определяемый при to t1 t2 тождеством
A(t0 , t2 ) A(t0 , t1) 
A(t1, t2 ).
Пример 2.3. Коэффициент накопления определяется формулой
A(t1,t2 ) exp 0,09(t2 t1)
в единицу времени – 1 год.
Найти: |
|
|
|
|
а) накопление суммы 250 у. д. е. от момента t |
3 на срок h 3 |
|||
(месяц); |
|
|
|
|
б) проверить принцип согласованности. |
|
|||
Решение: а) по формуле (2.4) находим |
|
|||
A(t0 , t1 ) |
exp 0,09(t1 |
t0 ) |
, |
(2.5) |
A(t1,t2 ) |
exp 0,09(t2 |
t1) |
, |
(2.6) |
A(t0 , t2 ) |
exp 0,09(t2 t0 ) . |
(2.7) |
||
Перемножая (2.5) и (2.6), получим |
|
|||
A(t0 , t1 ) A(t1, t2 ) |
exp |
0,09(t1 t0 ) 0,09(t2 t1 ) |
|
|
exp |
0,09(t2 t0 ) |
A(t0 , t2 ). |
|
|
18
Условие согласованности выполняется.
3.3. Сила процента
Во многих случаях при теоретических исследованиях и практических
расчётах используется сила процента, т.е. процентная ставка,
изменяющаяся с течением времени по произвольному закону. По
определению, сила процента (t) равна пределу номинальной процентной ставки ih (t) , когда величина h стремится к нулю. Исходя из этого
определения можно получить следующие соотношения между силой процента, коэффициентами накопления и номинальными процентными ставками:
A(t1,t2 ) exp |
t2 |
(t)dt , |
|
t1 |
|||
|
|
t h
ih (t) exp t
(t)dt |
1 h 1. |
Особый интерес представляет случай, когда сила процента постоянна,
т.е.
(t) 
const .
В этом случае процентная ставка i в единицу времени связана с 
формулами
i e
1,
n(1 i). |
(3.1) |
|
Для номинальной процентной ставки
ih |
e h |
1 |
, |
h |
|
||
|
|
|
19
1 |
n(1 h i ). |
|
|
h |
n |
|
Для процентной ставки i в единицу времени
1 i (1 |
h ih ) 1h . |
(3.2) |
|||
|
h |
1 |
, p целое, тоi1 |
i ( p) |
|
Если |
|
||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
||
|
|
|
|
|
|
номинальная |
процентная ставка, конвертируемая p раз в единицу |
||||
времени. |
|
|
|
|
|
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
( p) |
|
p |
|
( p) |
|
|
|
|
i (1 |
i |
) |
1,i |
(1 i) |
p |
1 p. |
|
||||
p |
|
|
|
|
(3.3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Накопление капитала P при переменной силе процента находится по формуле
A P exp |
t2 |
(t)dt , |
(3.4) |
|
t1 |
||||
|
|
|
при постоянной силе процента
A Pe (t2 t1 ) P(1 i)t2 t1 . |
(3.5) |
Пример 3.1. Найти накопленную стоимость 150 у. д. е. за 1,5 года при постоянной силе процента 
0,175 в год. Найти годовую процентную ставку, соответствующую данной силе процента.
Решение: По формуле (3.5)
20