Материал: 4329
5.а)
6.а)
7.а)
8.а)
9.а)
10.а)
11.а)
12.а)
1
Р 8
8
8
Р 5
4
4
Р 7
7
4
Р 3
7
3
4
Р
62
3
3
Р
67
9
8
Р
76
2
5
Р
67
3 |
8 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
9 |
11 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
4 |
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
4 |
6 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
||||
9 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
6 |
9 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||
5 |
8 |
|
9 |
|
||
7 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
5 |
|
6 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
10 |
8 |
|
|
|
|
11 |
|
|||||
5 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
8 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
4 |
2 |
|
|
|
|
6 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
8 |
5 |
9 |
|
||
|
|
||||
2 |
3 |
5 |
|
|
|
0 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
3 |
3 |
4 |
|
||
|
|
||||
1 |
4 |
5 |
|
|
|
4 |
1 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
8 |
2 |
4 |
|
||
|
|
|
|
, |
|
9 |
3 |
2 |
|||
|
|||||
10 |
8 |
9 |
|
||
16
б) |
Р 2 |
17 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
б) |
Р 9 |
15 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
б) |
Р 12 |
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
9 |
7 |
|
|
б) |
Р 5 |
|
8 |
; |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
6 |
|
б) |
Р 7 |
6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
10 |
|
|
б) |
Р 9 |
17 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
0 |
|
б) |
Р 1 |
10 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0 |
|
|
б) |
Р 5 |
8 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
6 |
|
|
17
|
|
1 |
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
а) |
|
5 |
8 |
3 |
|
б) |
Р 6 |
9 |
; |
|
|
Р |
3 , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 6 8 |
5 |
|
8 |
7 |
|
|
||||
|
|
2 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
а) |
|
1 |
4 |
2 |
|
б) |
Р |
1 |
3 |
; |
|
Р |
1 , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
5 7 |
4 |
|
|
8 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
4 |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
15. |
а) |
|
|
6 |
8 |
|
б) |
Р |
4 |
5 . |
||
Р 7 |
9 , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
8 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ
2.1.Теоретическая часть
Рассмотрим игру размера 2 n с платежной матрицей
a |
a |
a |
... |
a |
|
P 11 |
12 |
13 |
|
1n . |
|
|
a22 |
a23 |
... |
|
|
a21 |
a2n |
||||
По оси абсцисс (рис. 1) отложим единичный отрезок |
A1A2 ; точка |
A1 |
||||||
( x 0 ) изображает стратегию |
A1, точка |
A2 ( x 1) |
– стратегию A2 , |
а все |
||||
промежуточные точки |
этого |
отрезка – |
смешанные |
стратегии SA первого |
||||
игрока, причем расстояние от SA до правого конца – |
это вероятность |
p1 |
||||||
стратегии A1, расстояние до левого конца – вероятность |
p2 |
стратегии |
A2 . На |
|||||
вертикальных осях I и |
II откладываем выигрыши при стратегиях A1 |
и |
A2 |
|||||
соответственно. Если второй игрок примет стратегию |
Bi , то на оси I отмечаем |
|||||||
значение a , а на оси |
II – значение a |
, соответствующие стратегиям A1 и |
||||||
1i |
|
|
2i |
|
|
|
|
|
18
A2 , и через эти точки проводим прямую bi . Уравнение прямой bi находим как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (0;a1i ) и (1;a2i ) .
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
Если игрок А |
применяет смешанную стратегию SA |
p ; p , |
то его |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
выигрыш в случае, если противник применяет чистую стратегию Bi , равен |
|
||||||||
|
i a p a p a (1 p ) a p , |
|
|
|
|||||
|
|
1i 1 2i |
2 1i |
2 |
2i |
2 |
|
|
|
и этому выигрышу соответствует ордината y i |
точки М на прямой |
b |
c |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
абсциссой |
x p2 ( рис. 1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ломаная b1MNb3 , отмеченная на чертеже ( рис. 2 ) жирной линией, |
|||||||||
позволяет определить минимальный выигрыш игрока |
А при любом поведении |
||||||||
игрока В. |
Точка |
N , в которой эта ломанная достигает максимума, |
|||||||
определяет решение и цену игры. |
Ордината точки N равна цене игры |
, |
|||||||
19
а ее абсцисса p2 – вероятности применения стратегии A1 в оптимальной смешанной стратегии игрока А.
Рис. 2
Далее, непосредственно по чертежу, находим пару активных стратегий игрока В , пересекающихся в точке N (если в точке N пересекается более
двух стратегий, то выбираем любые две из них). Пусть это будут стратегии |
Bi |
|||||||||||
и |
B |
. Находим координаты точки N(xN ; yN ) , |
как точки пересечения прямых |
|||||||||
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
и |
b . Оптимальной стратегией игрока А будет |
p 1 x |
N |
, |
p x |
N |
, |
||||
i |
|
j |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Аналогично определяется |
оптимальная |
стратегия |
второго |
игрока |
||||||
S* |
0,..., qi*,...,q*j ,...,0 . На оси |
абсцисс откладываем |
единичный |
отрезок |
||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bi |
B j , соответствующий активным стратегиям |
Bi |
и |
B j ; |
на осях |
I и |
II |
|||||
отмечаем соответствующие выигрыши и строим прямые |
a1 |
и |
a2 . |
В |
||||||||
соответствии с принципом минимакса, вместо максимума нижней границы находим минимум верхней границы
20
Замечание. Иногда точка не является пересечением двух стратегий, а попадает на одну из прямых х = 0 или х = 1. В этом случае решением игры будут соответствующие чистые стратегии.
Для игры размера m 2 решение находится аналогично.
Действительно, поскольку выигрыш игрока А одновременно является проигрышем игрока В, то для решения задачи нужно построить ломаную, соответствующую верхней границе выигрыша игрока А, а затем найти на ней точку с минимальной ординатой.
2.2. Практическая часть Пример 2.1. Пусть игра задана матрицей
P 1 |
5 |
9 |
3 |
. |
|
|
|
|
|
6 |
3 |
2 |
7 |
|
Найти оптимальные стратегии игроков и определить цену игры графическим методом.
Решение. Игрок А имеет две стратегии, игрок B – четыре, поэтому на оси абсцисс откладываем единичный отрезок A1A2 . На вертикальной оси I
отмечаем выигрыши которые получит первый игрок, если будет придерживаться стратегии A1 при различных стратегиях второго игрока; а на
оси II – выигрыши которые получит, если будет придерживаться стратегии
A2 .
Проведем прямые bi (i = 1, 2, 3, 4), соответствующие стратегиям Bi и
выделим ломаную линию b1NMb3 , соответствующую нижней границе
выигрыша (рис. 3). Точка N , в которой эта ломанная достигает максимума, является пересечением прямых b1 и b2 .