Материал: 4329

теоремой теории игр, имеет оптимальное решение, которое определяется парой

смешанных стратегий

S*

p*,

p*

и S*

q*,

q* .

A

1

2

B

1

2

Для того чтобы их найти воспользуемся теоремой об активных

стратегиях. Если игрок

А придерживается своей оптимальной стратегии S* ,

A

то его средний выигрыш будет равен

цене

игры

, какой бы активной

стратегией ни воспользовался игрок В.

В данной игре обе чистые стратегии

выигрыш игрока (оптимальная стратегия) будет равен

и для первой, и для

второй стратегии противника.

Средний выигрыш игрока А , если он использует оптимальную

смешанную стратегию S*

p*,

p* , а игрок В чистую стратегию B

(это

A

1

2

1

соответствует первому столбцу платежной матрицы P) равен цене игры :

a p* a

p* .

11

1

21

2

Тот же

средний

выигрыш

получит

игрок

А ,

если

второй

игрок

применяет стратегию

B ,

т.е.

a

p*

a

p* .

Учитывая, что

2

12

1

22

2

p* p* 1,

получаем систему

уравнений

для

определения оптимальной

1

2

стратегии S*

и цены игры :

A

a

p*

a

p*

,

11

1

21

2

p*

a

p*

,

a

12

1

22

2

*

*

1.

p1

p2

Решив эту систему линейных алгебраических уравнений, получим

оптимальную стратегию S*

p*,

p*

и цену игры .

A

1

2

Аналогичным образом

можно

найти оптимальную

стратегию

S*

q*,

q* игрока

В.

В этом

случае неизвестные q*

,

q*

и

B

1

2

1

2

удовлетворяют системе уравнений

a

q*

a

q*

,

11

1

12

2

q*

a

q*

,

a

21

1

22

2

*

*

1.

q1

q2

4

5

6

7

9

P

3

4

6

7

6

,

7

6

10

8

11

8

5

4

7

3

4

5

6

7

9

4

3

4

6

7

6

3

7

6

10

8

11

6

8

5

4

7

3

3

элементы каждого столбца:

4

5

6

7

9

3

4

6

7

6

7

6

10

8

11

8

5

4

7

3

8

6

10

8

11

A1

4

5

6

7

9

4

A2

3

4

6

7

6

3

[ A ]

7

6

10 8

11

6

3

A

8

5

4

7

3

3

4

8

6

10 8 11

6

P

1

2 .

3

1

Решение. Прежде всего, проверим наличие седловой точки. Для этого

найдем нижнюю и верхнюю цены игры

1

2

1

1

1

3

3

2

Нижняя

цена

игры max 1;1 1 и верхняя цена игры

min 3;2

2 .

Так как , то седловой точки нет. В этом случае

Найдем оптимальную смешанную стратегию S*

p*,

p*

игрока А

A

1

2

и цену игры решая систему уравнений

1 p1 3 p2

,

p1 1 p2

,

2

1.

p1

p2

Приравняем левые части 1-го и 2-го уравнений

1 p 3 p

2 p

1 p , то есть

3 p 2 p

0.

1

2

1

2

1

2

Учитывая, что p 1 p ,

получаем

5 p

3. Таким образом, находим

1

2

2

решение системы

p

2

,

p

3

,

7

.

1

5

2

5

5

Для определения

оптимальной смешанной стратегии

S*

q*,

q*

B

1

2

второго игрока составляем систему уравнений

1 q1 2 q2

,

3 q1 1 q2

,

1.

q1

q2