Материал: 4329

y 9

x 0

или

y 3x 9 .

6 9

1 0

Уравнение прямой

b2 , проходящей через точки (0; 6)

и (1; 8), имеет

вид

y 6

x 0

или

y 2x 6.

8 6

1 0

Координаты точки М,

как точки пересечения прямых b1

и b2 , находим

из системы

x

3

y 2x 6

5 .

3x 9

,

y

y

36

5

Получаем оптимальную стратегию игрока А:

p 1 x

1 3

2

,

p

x

3 ,

y

36

.

M

5

M

M

2

5

3

5

5

*

2

3

О т в е т :

SA

0;

;

;0

– оптимальная стратегия игрока А,

5

5

*

2

3

S

;

– оптимальная стратегия игрока В,

5

B

5

36

–

цена игры.

5

1. Р 8

5 3 6 7 ,

2.

Р 2

4 0 3 5

,

3.

4

7 9 5 8

,

4.

6

3 8 4 2

Р 5

3

6 4 5

Р 3

5 1 4 6

,

4

6

8 1 2

7

4 9 5 3

2

5

6

5

7

1

4

6

5.

Р

,

6.

Р

,

3

7

2

7

7.

4

6

,

8.

1

8

Р 4

7 1 2

Р 2

3 1 5 ,

9.

0

3 4

2

10.

4

1 6 0

Р 3

4

5 4

,

Р 8

0

6 7 ,

7

6

4 5

3

6 3 1

28

2

5

6

5

7

1

4

6

11.

Р

,

12.

Р

,

3

7

2

7

13.

4

6

0

3 ,

14.

1

8

3 4

,

Р 4

6

Р 2

2

3 0 7

2

4

3 2 2

2

7

3

4

15.

Р

5

1

9

6

.

3.

СВЕДЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО

ПРОГРАММИРОВАНИЯ

3.1. Теоретическая часть

Рассмотрим матричную игру

m n без седловой точки с платежной

матрицей Р.

Допустим, что все выигрыши

ai j ( i = 1, 2, 3, … , m ; j = 1, 2, 3, … , n )

увеличится на С, а оптимальные стратегии игроков S*

и

S*

не изменятся).

А

B

Если все

ai j положительны, то и цена игры

при оптимальной

стратегии тоже

положительна, так как .

стратегий S*

и

S* , применение которых обеспечивает игрокам получение

А

B

цены игры .

Найдем в начале S*

, для этого предположим, что игрок В отказался от

А

своей оптимальной

смешанной стратегии S*

и применяет только чистые

B

m

m

aij

pi v ( j 1, 2, ... , n ) ;

pi

1,

pi

0

(i 1, 2, ... , m),

i 1

i 1

которые с учетом обозначений

x

pi

( i 1, 2, ... , m)

i

можно записать так

m

m

1

aij xi

1 ( j 1, 2, ... , n) ;

xi

,

xi

0

(i 1, 2, ... , m).

v

i 1

i 1

Аналогично находим оптимальную

стратегию

S*

игрока

В.

B

Предположим, что игрок А отказался от своей оптимальной стратегии S*

и

А

применяет только чистые стратегии. Тогда проигрыш игрока

В

в каждом из

этих случаев будет не больше, чем .

Иными словами,

выполняются

n

n

aij q j

v (i 1, 2, ... , m) ; q j

1,

q j 0

( j 1, 2, ... , n),

j 1

j 1

которые с учетом обозначений

y j

q j

( j

1, 2, ... , n)

можно записать так

n

n

1

aij y jk

1 (i 1, 2, ... , m) ; y j

,

y j 0

( j 1, 2, ... , n).

v

j 1

j 1

Таким

образом,

оптимальные стратегии S*

p*, p*, ... ,

p*

и

A

1 2

m

S*

q*, q*, ... , q*

матричной игры m n

с платежной матрицей

Р

B

1

2

n

могут быть найдены

путем решения пары двойственных задач линейного

программирования: