Материал: 4174
11
Окончание табл. 3
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
7 |
21 |
19 |
21 |
25 |
20 |
10 |
17 |
3 |
12 |
8 |
22 |
20 |
22 |
26 |
21 |
11 |
18 |
4 |
13 |
6 |
18 |
16 |
18 |
22 |
17 |
7 |
11 |
3 |
12 |
7 |
19 |
17 |
19 |
23 |
18 |
8 |
12 |
4 |
13 |
7 |
21 |
19 |
21 |
25 |
20 |
10 |
17 |
3 |
12 |
8 |
22 |
20 |
22 |
26 |
21 |
11 |
18 |
4 |
13 |
2 |
6 |
4 |
16 |
20 |
15 |
5 |
7 |
7 |
8 |
3 |
7 |
5 |
17 |
21 |
16 |
6 |
8 |
8 |
9 |
3 |
9 |
7 |
19 |
23 |
18 |
8 |
13 |
1 |
14 |
4 |
10 |
8 |
20 |
24 |
19 |
9 |
14 |
2 |
15 |
4 |
12 |
10 |
22 |
26 |
21 |
11 |
19 |
5 |
10 |
5 |
13 |
11 |
23 |
27 |
22 |
12 |
20 |
6 |
11 |
1 |
9 |
7 |
19 |
23 |
18 |
8 |
13 |
1 |
14 |
2 |
10 |
8 |
20 |
24 |
19 |
9 |
14 |
2 |
15 |
1 |
3 |
1 |
13 |
17 |
12 |
2 |
1 |
13 |
2 |
2 |
4 |
2 |
14 |
18 |
13 |
3 |
2 |
14 |
3 |
1 |
3 |
1 |
13 |
17 |
12 |
2 |
1 |
13 |
2 |
2 |
4 |
2 |
14 |
18 |
13 |
3 |
2 |
14 |
3 |
2 |
6 |
4 |
16 |
20 |
15 |
5 |
7 |
7 |
8 |
3 |
7 |
5 |
17 |
21 |
16 |
6 |
8 |
8 |
9 |
3 |
9 |
7 |
19 |
23 |
18 |
8 |
13 |
1 |
14 |
4 |
10 |
8 |
20 |
24 |
19 |
9 |
14 |
2 |
15 |
1 |
3 |
1 |
13 |
17 |
12 |
2 |
1 |
13 |
2 |
2 |
4 |
2 |
14 |
18 |
13 |
3 |
2 |
14 |
3 |
2 |
6 |
4 |
16 |
20 |
15 |
5 |
7 |
7 |
8 |
3 |
7 |
5 |
17 |
21 |
16 |
6 |
8 |
8 |
9 |
1 |
3 |
1 |
13 |
17 |
12 |
2 |
1 |
13 |
2 |
2 |
4 |
2 |
14 |
18 |
13 |
3 |
2 |
14 |
3 |
1.4.3. Порядок выполнения работы 1.4.3.1. Пример расчета
Определить, опираясь на данные ресурсных испытаний распределения наработки до разрушения крепежных болтов, основные статистические характеристики: среднее значение наработки, среднеквадратичное отклонение наработки, асимметрию и эксцесс. По полученным характеристикам построить эмпирическую функцию распределения, гистограмму плотности распределения и полигон относительных частот дискретного вариационного ряда. Наработки xi, (варианты) и их частоты mi представлены в табл. 2.
Определим число интервалов по правилу Старджесса, используя формулы (1) и (2). Объем выборки определим из табл. 4
|
|
n |
1 |
3 2 |
1 |
5 5 |
12 |
3 5 |
6 10 ... |
2 |
1 100. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
|
|
|
|
|
|
Исходные данные |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi,час |
mi |
xi,час |
mi |
xi,час |
mi |
xi,час |
mi |
xi,час |
mi |
xi,час |
mi |
|
xi,час |
mi |
|
25 |
1 |
110 |
5 |
220 |
5 |
310 |
7 |
415 |
3 |
520 |
1 |
|
640 |
2 |
|
63 |
3 |
115 |
5 |
240 |
6 |
330 |
6 |
435 |
4 |
545 |
2 |
|
795 |
1 |
|
99 |
2 |
140 |
12 |
260 |
10 |
350 |
7 |
475 |
3 |
575 |
3 |
|
|
|
|
101 |
1 |
185 |
3 |
280 |
4 |
380 |
2 |
495 |
1 |
590 |
1 |
|
|
|
|
|
|
r |
1 |
3,3 lg n |
7,6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимаем r = 8. Длина интервала
|
|
|
12 |
h |
795 |
25 |
96,25. |
|
|
||
8 |
|
||
|
|
|
Принимаем длины всех интервалов одинаковыми h = 100. В табл. 3 на основании проведенных расчетов заполнены первые четыре столбца.
Вычислим начальные и центральные эмпирические моменты. При вычислении эмпирических моментов удобно переходить к относительным значениям наработки
ui 
xihi c ,
где с – постоянная величина (условный нуль), за который может приниматься значение xi, соответствующее наибольшему значению mi или значение xi, равноудаленное от краевых значений. Примем с = 350, а hi = h = 100, тогда
ui |
xi |
350 |
. |
|
100 |
||
|
|
|
Все вычисленные значения ui записаны в пятом столбце табл. 3. Вычислим начальные и центральные моменты для относительных значе-
ний наработок. Однако прежде необходимо вычислить miui и записать полученные значения в шестой столбец, вычислить miui2 и записать в седьмой столбец, miui3 – в восьмой столбец и miui4 – в девятый столбец табл. 5.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
||
|
|
Расчетные данные задачи примера |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номера |
Интервал |
Середина |
Частота |
ui |
miui |
miui2 |
miui3 |
|
miui4 |
|
интервалов |
|
интервала xi |
mi |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
9 |
|
1 |
0 ... 100 |
50 |
6 |
–3 |
–18 |
54 |
–162 |
|
486 |
|
2 |
101 ... 200 |
150 |
26 |
–2 |
–52 |
104 |
–208 |
|
416 |
|
3 |
201 ... 300 |
250 |
25 |
–1 |
–25 |
25 |
–25 |
|
25 |
|
4 |
301 ... 400 |
350 |
22 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
5 |
401 ... 500 |
450 |
11 |
1 |
11 |
11 |
11 |
|
11 |
|
6 |
501 ... 600 |
550 |
7 |
2 |
14 |
28 |
56 |
|
112 |
|
7 |
601 ... 700 |
650 |
2 |
3 |
6 |
18 |
54 |
|
162 |
|
8 |
701 ... 800 |
750 |
1 |
4 |
4 |
16 |
64 |
|
256 |
|
Сумма |
|
|
100 |
|
–60 |
256 |
–210 |
|
1468 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Первый начальный момент определим по формуле
|
|
ak |
1 |
|
mi uik , |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
||||
|
|
|
i |
|
|||
где k =1 и a1 |
1 |
mi uil |
|
60 |
0,6 . |
||
|
|
|
|
|
|||
n |
|
100 |
|
||||
|
i |
|
|
|
|||
Второй начальный момент будет равен
|
1 |
2 |
|
a2 |
|
mi i |
|
n |
|||
|
i |
256 2,56 .
100
Третий начальный момент
|
1 |
3 |
|
a3 |
|
mi i |
|
n |
|||
|
i |
Четвертый начальный момент
210 2,1.
100
|
1 |
4 |
|
a4 |
|
mi i |
|
n |
|||
|
i |
1468 14,68.
100
Центральные моменты для относительных значений наработки определятся из следующих соотношений:
|
|
|
2 |
|
a2 |
a12 |
|
2,56 |
0,62 |
2,2 ; |
|
|
||
3 |
a |
3 a |
a |
2 |
a3 |
|
2,1 |
3 2,56 ( |
0,6) |
2 |
( 0,6)3 |
2,07 ; |
||
3 |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
a |
4 a |
a |
6 |
a |
a2 |
3 a4 |
14,68 |
|
|||
|
|
4 |
|
3 |
1 |
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
2,1 |
0,6 |
6 |
2,26 |
0,6 2 |
3 |
0,6 4 |
14,78. |
||||
Выполним обратный переход от относительных значений наработки к абсолютным и вычислим среднее значение и среднеквадратическое отклонение наработки
|
|
|
14 |
|
|
|
x |
a1 h c |
0,6 100 350 290 ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
s |
h |
2 100 2,2 148 . |
||||
Коэффициент асимметрии и эксцесс можно определить по условным эмпирическим моментам
A(x) |
3 |
2,07 |
0,63. |
||
|
|
||||
3/ 2 |
(2,2)3/ 2 |
||||
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
E(x) |
4 |
3 |
14,78 |
3 0,05. |
|
|
|||||
2 |
(2,2)2 |
||||
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
А(x)>0 и Е(x)>0, следовательно, распределение имеет положительную асимметрию и кривая распределения более островершинная, чем при нормальном распределении.
Подготовим табл. 6, в которую внесем данные, используя следующие формулы:
|
|
^ |
|
1 |
i |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F n |
(x1 ) |
|
|
mz ; f (xi ) |
|
i |
|
hi . |
|
|
||||
|
|
n |
|
n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6 |
|
|
|
Данные для построения гистограмм и полигонов |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Номера |
Интервал |
|
|
Середина |
|
Частота |
|
^ |
|
f (xi ) 103 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интервалов |
|
|
|
|
интервала х |
|
|
mi |
|
|
F n (x1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
0 ... 100 |
|
|
50 |
|
6 |
|
|
|
0,06 |
|
0,6 |
|
||
|
2 |
101… 200 |
|
|
150 |
|
26 |
|
|
0,32 |
|
2,6 |
|
|||
|
3 |
201 ... 300 |
|
|
250 |
|
25 |
|
|
0,57 |
|
2,5 |
|
|||
|
4 |
301 ... 400 |
|
|
350 |
|
22 |
|
|
0,79 |
|
2,2 |
|
|||
|
5 |
401 … 500 |
|
|
450 |
|
11 |
|
|
0,90 |
|
11 |
|
|||
|
6 |
501 ... 600 |
|
|
550 |
|
7 |
|
|
|
0,97 |
|
0,7 |
|
||
|
7 |
601 … 700 |
|
|
650 |
|
2 |
|
|
|
0,99 |
|
0,2 |
|
||
|
8 |
701 ... 800 |
|
|
750 |
|
1 |
|
|
|
1,00 |
|
0,1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
||
Вначале построим |
эмпирическую функцию |
|
распределения, используя |
|||||||||||||
значения табл. 4. Для интервального вариационного ряда эмпирическая функ-
15
ция распределения имеет вид ступенчатой кривой, представленной на рис. 1. Высота каждого прямоугольника соответствует значению накопленной частоты, а его вертикальная ось совпадает с соответствующим значением наработки.
Далее построим гистограмму эмпирической плотности распределения, используя значения табл. 6. Построенная гистограмма представлена на рис. 2.
Затем построим полигон относительных частот дискретного вариационного ряда, используя данные табл. 6. Полигон показан на рис. 3.
Рис. 1. Эмпирическая функция распределения случайной величины
Рис. 2. Гистограмма относительных частот интервального вариационного ряда