Материал: 3992

3 2

откуда 45o .

tg

1,

1 2 3

Пример 4.4. Доказать, что прямые

2x 3y 1 0

и

4x 6y 5 0

параллельны.

Решение.

В самом

деле,

угловые

коэффициенты этих

прямых

k

2

,

1

3

k

4

2

, т.е. условие параллельности выполнено.

2

6

3

Пример 4.5. При каком значении k уравнение y kx 1 определяет прямую,

перпендикулярную к прямой y 2x 1?

Решение.

Угловой

коэффициент

второй

прямой

k2 2 .

Условие

перпендикулярности дает 2 k 1, откуда

k

1

.

2

Пример 4.6. Найти уравнение прямой, проходящей через точку

M 1;2

параллельно прямой y 3x 1.

Решение. Искомая прямая по условию параллельна данной прямой.

Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой k

равен угловому

коэффициенту

данной прямой:

k 3.

Пользуясь

уравнением

(1.7)

прямой,

перпендикулярно прямой 2x y 3 0 .

Решение. Уравнение данной прямой можно записать в

форме y 2x 3,

откуда следует, что ее угловой коэффициент k1 2 . Угловой

коэффициент k2

k1 k2

1. Следовательно,

k2

1

1

. Теперь остается воспользоваться

k1

2

прямой d

Ax0 By0 C

3 2 4 1 4

2

2

.

5

A2 B2

32 42

25

A( 6; 5),

B( 6; 0), C( 9; 4) .

Решение.

1)

Длину стороны ВС найдем по формуле (4.15) расстояния между двумя

заданными точками M0 (x0; y0 )

и M1(x1; y1) :

M

0

M

1

(x x )2

( y y )2 .

1

0

1

0

Так как B( 6; 0) и C( 9; 4) , получаем

(9 6)2 (4 0)2

BC

9 16

25 5 .

2) Для нахождения уравнений сторон треугольника, воспользуемся

уравнением (4.9) прямой, проходящей через

две

заданные точки M0 (x0; y0 ) и

M1(x1; y1) :

24

y y0

x x0

.

y

y

0

x x

1

1

0

Рис. 4.8

Так как A( 6; 5) , B( 6; 0) ,

то уравнение стороны АВ

имеет вид

y 5

x ( 6)

,

0 5

6 ( 6)

или, после упрощения y

5

x

5

.

12

2

Аналогично находим уравнения сторон BC и AC .

Уравнение BC :

y 0

x 6

или

y

4

x 8.

4 0

9 6

3

Уравнение AC :

y 5

x ( 6)

или

y

1

x

23

.

4 5

9 ( 6)

15

5

3) Высота, проведенная из вершины

A , есть

отрезок прямой,

которая

перпендикулярна BC .

Из формул (4.7) и (4.14) следует, что уравнение высоты AD имеет вид:

y y

1

(x x ) , где ( x ; y )

– координаты точки A ; k – угловой коэффициент

0

k

0

0

0

прямой

BC . Из полученного в пункте 2 уравнения

BC находим,

что

kBC

4

. По

3

условию

A( 6; 5) , тогда y 5

3

(x 6) или y

3

x

1

– уравнение высоты

4

4

2

AD .

4)

Угол B найдем по формуле (4.11) tg B

k2 k1

, где k

и

k

2

– угловые

1 k1 k2

1

Из полученных в пункте 2 уравнений

BC и AB находим, что

k

k

4

,

BC

1

3

k2 kAB

5

. Тогда

12

5

4

74

63

3,94 , а значит

tg B

12

3

1

4

(

5

)

4

16

3

12

9

B arctg ( 3,94) 1,82 (в радианах).

5) Из формул (4.7) и (4.12) следует, что уравнение прямой , проходящей

через вершину C параллельно прямой AB имеет вид:

y y0 k (x x0 ) , где ( x0; y0 )

– координаты точки C ;

k – угловой коэффициент

прямой AB.

По условию C( 9; 4)

и kAB

5

, тогда

y 4

5

(x 9) или

y

5

x

31

4

12

12

12

– уравнение прямой .

Пример 4.10. Составить уравнение плоскости, проходящей

через

точку

М 1;2;3 .

1 1 2 0 2 1

cos

3

2

.

12 2 2 22 12 02 12

2

3

2

A 2C 0 и

A B C 0 .