Материал: 3992

А

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

m

2

6

4

8

8

2

6

4

4

6

B

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n

3

5

1

7

9

1

3

7

5

9

3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

3.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пример

1. Найти

векторное

произведение

a b , если

a 3i j 2k ,

b 2i 3 j 5k .

Решение. По формуле (2.1) получаем

i

j

k

1

2

3

2

3 1

a b

3

1

2

i

j

k

2

3

5

3 5

2

5

2 3

.

AB xB xA,

yB yA,

zB zA 1 7,

0 3,

6 4 6,

3,

2

AC xC xA,

yC yA,

zC zA 4 7,

5 3,

2 4 3, 2,

6

2) Найдем векторное произведение

i

j

k

3 2

6

2

6

3

AB AC

6

3

2

i

j

k

3

2

6

2 6

3

6

3

2

S ABC

1

AB AC

1

49 24,5кв.ед.

2

2

Пример

3. Сила F 2i 3 j 4k приложена к точке А(3, 4, –2). Найти ее

момент М относительно точки О(4, 2, –1).

Решение. Находим вектор OA i 2 j k .

Искомый момент M равен векторному произведению OA F

i

j

k

M OA F

1

2 1

5i 2 j k .

2

3

4

Пример

4. Пирамида ABCD

задана

координатами вершин. Пользуясь

A(6;6;2) ,

B(5;4;7) ,

C(2;4;7) , D(7;3;0) .

1)

Решение.

Координаты

вектора

a

ax i ay

j az

k находятся по

формулам: ax

x1 x0 , ay y1 y0 ,

az z1 z0 ,

где (x0 ; y0 ; z0 ) – координаты начала,

(x1; y1; z1 ) –

координаты конца

вектора

a. Тогда

длина

вектора a

равна

a2

a2

a2 .

a

x

y

z

Рис. 2.22.

Рассмотрим вектор AB . Точка A(6;6;2)

является началом, а точка B(5;4;7) –

концом вектора AB . Следовательно, вектор AB имеет следующие координаты:

AB {5 6; 4 6; 7 2} { 1; 2; 5}, а значит

AB

( 1)2 ( 2)2 52 1 4 25 30 .

Косинус угла

2)

между векторами a и b может быть найден по формуле:

a

b

cos

,

где a

b

ax bx ay by az bz – скалярное произведение векторов

a

b

a и b .

Для того,

чтобы найти угол между ребрами AB и AD ,

введем в рассмотрение

векторы

AB и

AD.

Так как координаты

вектора AB и

его длина известны,

cos

AB AD

( 1) 1 ( 2) ( 3)

5 ( 2)

5

AB

AD

30 14

30 14

20

или cos

5

0,24 . Отсюда arccos( 0,24) 104 .

2

105

1

формуле S

a

b

, через векторное произведение

2

i

j

k

a

b

ax

ay

az

(aybz azby ) i

(axbz azbx ) j (axby

aybx ) k .

bx

by

bz

Площадь

грани

ABC есть

площадь

треугольника

ABC ,

построенного на

векторах AB и AC . Так как AC { 4; 2; 5}, тогда

i

j

k

AB AC

1

2

8)

5

( 10 10) i ( 5

20) j (2

k

0 i

15 j

6k ,

4

2

5

1

3

9 29

29 8,1.

2

2

4) Объем

V треугольной

пирамиды, построенной на векторах a ,

b ,

c

1

находится по формуле V

(a

b) c

.

6

1

В нашем случае V

( AB AC) AD

.

6

Так как AB AC {0; 15; 6}, AD {1; 3; 2}, получаем:

V

1

0 1 ( 15) ( 3) ( 6) ( 2)

1

57

57

9,5 .

6

6

6

Вариант 0.

A(7;5;3) , B(9;4;4) , C(4;5;7) , D(7;9;6) .

Вариант 1.

A(6;1;1) , B(4;6;6) , C(4;2;0) , D(1;2;6) .

Вариант 2.

A(5;5;4) , B(3;8;4) , C(3;5;10) , D(5;8;2) .

Вариант 3.

A(0;7;1) , B(4;1;5) , C(4;6;3) , D(3;9;8) .

Вариант 4.

A(9;5;5) , B( 3;7;1) , C(5;7;8) , D(6;9;2) .

Вариант 5.

A(2;4;3) , B(7;6;3) , C(4;9;3) , D(3;6;7) .

Вариант 6.

A(3;5;4) , B(5;8;3) , C(1;9;9) , D(6;4;8) .

Вариант 7.

A(3;3;9) , B(6;9;1) , C(1;7;3) , D(8;5;8) .

Вариант 8.

A(3;1;4) , B( 1;6;1) , C( 1;1;6) , D(0;4; 1) .

Вариант 9.

A(6;6;7) , B(5;7;8) , C(2;2;2) , D(2;5;4) .

y

0

4 ,

k tg135o 1.

Следовательно, искомое уравнение будет

y 4 1 x 3 или

y x 1.

Пример 4.2. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки

A 1;2 и B 1;1 .

Решение. Подставляя в уравнение (4.9) x0 1,

y0 2 ,

x1 1,

y1 1, получим

y 2

x 1

, откуда

y 2

x 1

или 2 y 4 x 1

1 2

1

1 1

2

или окончательно y

1

x

3

.

2

2