Материал: 343

мени при выборе аналитического выражения тренда. При наличии в динамическом ряду существенных колебаний уровней определение средних показателей тенденции требует применения специальных методов статистики, а здесь рассматривается только форма, математические свойства средних показателей динамики и простейшие приемы их вычисления, применимые на практике к рядам со слабой колеблемостью.

Средний уровень интервального ряда динамики определяется как простая арифметическая средняя из уровней ряда за равные промежутки времени:

или как взвешенная арифметическая средняя из уровней за неравные промежутки времени, длительность которых и является весами (весовыми коэффициентами).

В моментном ряду роль среднего уровня в том, что он характеризует уже не состояние объекта в отдельные моменты, а его среднее, обобщенное состояние между начальным и конечным моментом учета. Из этого следует, что роль уровней, относящихся

кначальному и конечному моменту, существенно иная, отличная от уровней для моментов внутри изучаемого отрезка времени. Начальный и конечный уровни находятся на границе изучаемого интервала, они (хоть и представлены точками) наполовину относятся один к предыдущему, а другой – к последующему интервалам, и лишь наполовину к изучаемому. Уровни, относящиеся

кмоментам внутри интересующего осредняемого интервала, целиком относятся только к нему. Отсюда получаем особую форму средней арифметической величины, называемой хронологической средней:

Если известны точные даты изменения уровней моментного ряда, то средний уровень определяется как:

где ti – время, в течение которого сохранялся уровень.

Средний абсолютный прирост (абсолютное изменение) определяется как простая арифметическая средняя из абсолютных изменений за равные промежутки времени (цепных абсолютных из-

41

менений) или как частное от деления базисного абсолютного изменения на число осредняемых отрезков времени от базисного до сравниваемого периода:

Как было указано выше, при наличии существенной колеблемости уровней средний абсолютный прирост (изменение), как и средний темп, следует вычислять, отделив сначала тренд от колебаний (соответствующая методика будет изложена ниже). Прямой непосредственный расчет среднего абсолютного прироста по крайним (начальному и конечному) уровням ряда допустимо, если нет существенных колебаний уровней.

Для правильной интерпретации показатель среднего абсолютного изменения должен сопровождаться указанием двух единиц времени:

–время, за которое он вычислен, к которому относится и которое он характеризует;

–время, на которое показатель рассчитан, входящее в его единицу измерения.

Можно рассчитать среднемесячный прирост за пятилетие, среднесуточное изменение за год, за месяц, за квартал. Очевидно, что среднемесячный прирост будет в 12 раз меньше среднегодового прироста за рассматриваемый период.

Средний коэффициент роста (как и темп роста) определяется наиболее точно при аналитическом выравнивании динамического ряда по экспоненте (показательной функции). Если можно пренебречь колеблемостью, то средний темп определяют как геометрическую среднюю из цепных темпов роста за n лет или из общего (базисного) темпа роста за n лет:

__ ∏ y

k = n 1n ki = n yn .

0

Средний коэффициент роста (как и темп роста) так же, как средний прирост, следует сопровождать указанием двух единиц времени:

–периода, который им характеризуется;

–периода, на который рассчитан темп.

Например, среднегодовой темп за последнее десятилетие; среднемесячный темп за полугодие и т. п.

42

Прогнозирование коротких временных рядов в форме экстраполяции

В качестве конкретного численного примера исследуем динамику показателя «Количество совершенных преступлений в Каменском районе» (табл. 3.3). Для этого района области требуется вычислить показатели динамики совершаемых преступлений по годам и указать соответствующие средние за весь анализируемый период.

Рассматриваемый здесь временной (динамический) ряд является рядом с равными промежутками (каждый из них равен одному году). Кроме того, этот конкретный ряд является интервальным, т. е. его значения относятся ко всему интервалу, служат итогом всего прошедшего года. В самом деле, в это значение включены и соответствующие преступления, относящиеся к 1 января, если таковые имели место в районе, и, скажем к 31 мая, и к 31 декабря того же учитываемого года и т. д. В течение года значение формирующегося показателя способно только возрастать или, в лучшем случае (учитывая, что речь идет о совершении преступлений), оставаться на том же уровне, но никак не снижаться. Здесь имеет место только эффект накопительный, «кумулятивный». Иная картина свойственна для моментного временного ряда, примером которого служат ряды, образуемые такими показателями, как «Количество лиц, находящихся в розыске», «Количество лиц, находящихся в изоляторе временного содержания» или «Численность личного состава», «Количество сотрудников, временно отсутствующих по уважительным причинам»

ит. п. Ясно, что значения по каждому из этих показателей в каждый момент могут меняться и в большую, и в меньшую сторону. Так, для первого показателя: кого-то из разыскиваемых задержали – показатель убыл, кто-то вновь объявлен в розыск – возрос (аналогично

идля второго показателя: кто-то вновь принят – показатель возрос,

43

кто-то уволен – убыл). Вид временного ряда – интервальный он или моментный – надо обязательно учитывать, поскольку формулы для расчета средних показателей динамики для них различны, соответственно и разные получаются на их основе результаты расчетов.

Каждое из значений временного ряда (и интервального, и моментного) носит наименование «уровень ряда» и имеет стандартное обозначение «y» с указанием внизу индекса – номера уровня ряда. В данном случае это порядковый номер года: 0, 1, 2 и т. д., но можно и 2000, 2011, 2012 и т. д. – сути дела при анализе динамики это не меняет, нумеруют, как удобнее и проще для восприятия, а это чаще бывает именно 1, 2 и т. д. Здесь уровни y1 , y2 , y3, y4, y5 – по числу учитываемых лет. Число лет обозначается символом n.

Средний уровень интервального временного ряда

Итак, в среднем в районе ежегодно совершается 28,4 преступлений.

Примечание. Если бы временной ряд был не интервальным, а моментным (например, в вышеприведенной таблице данных в нижней строке стоял бы показатель «Количество лиц, имеющих непогашенную судимость»), то средний уровень моментного ряда с равными интервалами рассчитывался бы по иной формуле. А именно:

Чтобы понять, почему формула иная и именно такая, как приведена выше, следует еще раз вспомнить, в чем суть моментного

45