Материал: 3080

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

P ρN

ρ i

0,122

Mоч =

∑i

+ 2

= 0,35.

N !

i=1

Таким образом, Pотк = 0,048, Mоч = 0,35

машины.

3.5. Системы массового обслуживания с ожиданием. СМО с ожиданием аналогична системе массового обслуживания с ограниченной длиной очереди при условии, что граница очереди отодвигается в бесконечность.

Вероятность состояний СМО с ожиданием находят по формулам:

	P =			ρk	P ,	для k =1,2,..., N ;
				k!
	k				0
P =	ρk	P ,			для	k = N +1,..., N + k,..., N +∞.

k	N !N k −N		0

При ρN >1 наблюдается явление «взрыва» - неограниченный рост средней длины очереди, поэтому для определения P0 должно выполняться ограничивающее условие ρN <1, и с учетом его запишем выражение:


	N	ρk		ρN +1		−1
P0	= ∑		+		.
P0	= ∑	k!	+		.
	k=0	k!		N !(N − ρ)

К основным характеристикам качества обслуживания СМО с ожиданием относят:

Вероятность наличия очереди Pоч, т.е. вероятность того, что число требований в системе больше числа узлов:

ρN +1

Pоч = N !(N − ρ) P0.

Вероятность занятости всех узлов системы Pзан :

ρN

Pзан = (N −1)!(N − ρ) P0.

Среднее число требований в системе Mтр :

	N −1	ρ	k		ρ	N +1	(N	+1− ρ)
Mтр = P0	ρ∑			+					.
		k!						2
	k =0				(N −1)!(N − ρ)

Средняя длина очереди Mоч :

Mоч =

ρN +1P

(N −1)!(N − ρ)2

Среднее число свободных каналов обслуживания Mсв :

Mсв = P0 ∑k

(N −k)!

k=1

Среднее число занятых каналов обслуживания M зан :

M зан

= N − Mсв .

Коэффициент простоя K0 и коэффициент загрузки Kз каналов

обслуживания системы:

K0 =

Mсв

; Kз =

M зан

Среднее время ожидания

начала

обслуживания Tож для требования,

поступившего в систему:

Tож =

ρN

P0 .

μ(N −1)!(N − ρ)2

Общее время, которое проводят в очереди все требования, поступившие в

систему за единицу времени Tоож :

Tоож =

ρN +1

P0 .

(N −1)!(N − ρ)2

Среднее время Tтр , которое требование проводит в системе обслуживания:

Ттр =Тож + μ−1 .

Суммарное время, которое в среднем проводят в системе все требования, поступившие за единицу времени Тстр :

Тстр =Тоож + ρ.

ПРИМЕР. В порту имеется два причала для разгрузки грузовых судов. Интенсивность потока судов равна 0,8 судов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 сут. Предполагается, что очередь ожидающих разгрузки судов может быть неограниченной длины.

Найти среднее время пребывания судна в порту.

Имеем:

N = 2,

λ = 0,8сут−1,

μ =1

обс

= 0,5сут−1,

ρ = λ μ = 0,8 0,5 =1,6.

Находим:

N +1

−1

1,6 +1,6

1,6

−1

∑

= 1+

= 0,11;

2!(2 −1,6)

k =0 k!

N !(N − ρ)

P ρN +1

0,11 1,63

= 2,8;

ож

N N !

− ρ N )2

2 2

(1−0,8)2

Tож = Mож

λ =3,5.

Итак,

Tож =3,5 суток.

3.6. Система

массового

обслуживания

ограниченным временем

ожидания. В системах массового обслуживания с ограниченным временем ожидания время ожидания в очереди каждого требования ограничено

случайной величиной tож, среднее значение которого tож .

Величина, обратная среднему времени ожидания, означает среднее количество требований, покидающих очередь в единицу времени, вызванное появлением в очереди одного требования:

ν =1tож .

При наличии в очереди k требований интенсивность потока покидающих очередь требований составляет k v.

Для дальнейшего рассмотрения СМО с ограниченным временем

ожидания введем новый параметр	β =	ν	, означающий среднее число
		μ

требований, покидающих систему необслуженными, приходящиеся на среднюю скорость обслуживания требований.

Формулы для определения вероятностей состояний такой системы имеют

вид:

P =	ρk	P , при			k =1,2,K, N ;
	k!
k			0
P =	ρN			λl		P , при
				l
k	N !				0
				∏(N +iβ)

i=1

Вероятность P0 определяют по формуле

P0 = ∑N ρkk=1 k!

+	ρ		∑ l		λ		−1
+	ρ		∑ l		λ		.
		N	∞			l
	N !		l=1	∏(N		+iβ)
				∏(N		+iβ)
				i=1

В практических задачах сумму бесконечного ряда вычислить достаточно просто, так как члены ряда быстро убывают с увеличением номера.

Средняя длина очереди:

	ρ	N	∞		λ	l
Mоч =			P0 ∑l				.
	N !			l
			l=1	∏(N +iβ)

i=1

Вероятность отказа:

Pотк = βρ Mоч .

Среднее число занятых каналов обслуживания и коэффициент загрузки:

N	∞
M зан = ∑kPk	+ N ∑PN +l ;
k =1	l=1

Kз = MNзан .

Среднее число свободных каналов обслуживания и коэффициент простоя:

Mсв = N − M зан ; Kо =	M зан	.
Mсв = N − M зан ; Kо =		.
	N
Относительная пропускная способность
Q =1− Pотк .

ПРИМЕР. В пункте химчистки имеется три аппарата для чистки. Интенсивность потока посетителей λ=6 посетителей в час. Интенсивность обслуживания посетителей одним аппаратом μ=3 посетителей в час. Среднее количество посетителей, покидающих очередь, не дождавшись обслуживания, v=1 посетитель в час. Найти абсолютную пропускную способность пункта.

Имеем:

N =3,

λ = 6,

μ =3,

ν =1.

Находим:

ρ = λ μ = 6 3 = 2,

P =

+ 22

+ 23

−1

= 0,13.

+1 3

(3 +1 3)(3 + 2 3)

Вероятность занятости всех приборов равна Pзан =1− P0 = 0,87 . Тогда абсолютная пропускная способность может быть получена как произведение: A = NPзан =3 0,87 = 2,61. Таким образом, A = 2,61 посетителей в час.

3.7. Замкнутые системы массового обслуживания. В замкнутых системах массового обслуживания источник требований находится внутри системы, и интенсивность потока требований зависит от состояния самой системы.

Чаще всего потоком требований в такой системе является поток неисправностей от некоторой группы работающих устройств. Пусть имеется m работающих устройств, которые могут выходить из строя за счет неисправностей. Имеется также N приборов (каналов) обслуживания этих требований. В качестве таких каналов могут выступать и люди. Обычно предполагают, что N < m.

Обозначим через S0 состояние, при котором все устройства работают, а приборы обслуживания не заняты; S1 - состояние, при котором одно устройство вышло из строя и обслуживается одним прибором обслуживания; SN — N устройств не работают и все приборы заняты обслуживанием; Sm - все устройства не работают, из них N обслуживаются, а m - N ждут обслуживания.

Вероятности состояний замкнутой системы определяются следующими зависимостями:

k −1

∏(m − j)

P =

j=0

ρk P (k =1,2,K, N ),

k −1

∏(m − j)

P =

j=0

ρk P (k = N +1, N +2,K,m),

N !N k −N

k −1

−1

∏(m − j)

m ∏(m − j)

= 1+ ∑

j=0

ρk + ∑

j=0

ρk .

k −N

k =1

k =N +1 N !N

Средняя длина очереди:

(k − N )m!

Mоч = ∑

ρk P0 .

−N

k =N +1

N !(m −k)!

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)