Материал: 3080

36

Коэффициент простоя требований в СМО:

Kпр = Mmоч .

Среднее число требований в СМО:

где Cmk - коэффициент бинома Ньютона.

Среднее число свободных каналов и коэффициент простоя каналов K0 :

Вероятность занятости каналов обслуживания:

Pз =1− P0 .

Абсолютная пропускная способность:

A = μPз .

ПРИМЕР. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час. Процесс наладки занимает в среднем 10 мин. Определить абсолютную пропускную способность наладки рабочим станков.

Имеем: n =1, m =3, λ = 2, Tобс =16, μ = 6.

Находим: ρ = λμ =13,

Определяем вероятность того, что рабочий будет занят обслуживанием:

Pз =1− P0 =1−0,346 = 0,654.

Если рабочий занят обслуживанием, то он обслуживает 6 станков в час. Следовательно, абсолютная способность находится как произведение:

A = μPз = 6 0,654 = 4.

Таким образом, А=4 станка в час.

37

ЗАДАНИЕ №2

1.В справочной службе автовокзала стоит телефон с пятью каналами. Приходящий вызов получает отказ тогда, когда все каналы заняты. Пусть среднее время занятости одного канала составляет 1 минуту. Интенсивность поступающих вызовов составляет 0,1 мин-1. Требуется найти вероятность отказа

иотносительную пропускную способность.

2.На автодорожной станции находятся три кассы для продажи билетов на автобусы дальнего следования. Когда все кассы заняты, пассажиры встают в очередь. Длина очереди не может превышать 50 человек. Среднее время обслуживания в одной кассе составляет 5 минут. Пассажиры прибывают на станцию для покупки билетов в среднем по два человека в минуту. Найти вероятность отказа и общее количество человек (требований), находящихся в системе.

3.Для условия задачи 1 найти вероятность обслуживания вызова, а также вероятность поступления одного вызова.

4.На железнодорожной станции имеется пять путей для обслуживания прибывающих железнодорожных составов. Интенсивность прибытия железнодорожных составов равна 15 составов в час. Среднее время обслуживания одного состава 20 минут. Предполагается, что очередь ожидающих обслуживания поездов может быть неограниченной длины. Найти вероятность занятости всех пяти путей железнодорожной станции и среднее время обслуживания состава.

5.Программист обслуживает вычислительный центр из 50 вычислительных машин (ВМ). В среднем ВМ дает сбой 0,05 час-1. Процесс наладки занимает в среднем 45 минут. Требуется определить абсолютную пропускную способность наладки ВМ программистом.

6.В локомотивном депо обслуживается 100000 железнодорожных вагонов. Каждый вагон в среднем подлежит ремонту один раз в два года. На ремонт вагона затрачивается в среднем 5 дней. Найти вероятность того, что депо занято обслуживанием вагонов.

7.Сервис-центр занимается посреднической деятельностью по продаже автодорожных билетов и осуществляет часть своей деятельности по 3 телефонным линиям. В среднем в сервис-центр поступает 75 звонков в час. Среднее время обслуживания каждого звонка составляет 2 минуты. Определить

38

вероятность того, что ни один канал не занят, а также вероятность отказа.

8.Преподаватель производит прием экзамена у группы студентов из 23 человек, пришедших в течение одной минуты. Время приема экзамена у одного студента в среднем составляет 20 мин. Студенты, ждущие приема экзамена, находятся в очереди. Определить среднее время ожидания студентом приема экзамена.

9.Для условия задачи 7 определить вероятность занятости одного и двух каналов телефонной линии.

10.В вагоне-ресторане интенсивность обслуживания клиентов в среднем составляет 20 человек в час. Обслуживанием клиентов занимаются два официанта, при этом среднее время обслуживания одного клиента составляет 10 минут. Среднее количество клиентов, покинувших очередь, не дождавшихся обслуживания, составляет 2 человека в час. Определить абсолютную пропускную способность вагона-ресторана.

11.Для условия задачи 7 определить абсолютную пропускную способность сервисного центра.

12.В читальный зал государственной библиотеки, которая имеет 30 посадочных мест, приходят посетители с интенсивностью 20 человек в час. Время пребывания каждого посетителя в среднем составляет 2 часа. Определить вероятность отказа посетителю в читальном зале и среднее число занятых посадочных мест.

13.Абонентский отдел библиотеки обслуживают 3 библиотекаря. Время обслуживания одним библиотекарем читателя в среднем составляет 5 минут. Интенсивность посещения читателями библиотеки составляет 4 человека в минуту. Если в момент прихода читателя все библиотекари заняты, то он встает в очередь. Требуется определить среднее число читателей, ожидающих начала обслуживания и время их пребывания в очереди.

14.Поток заданий в 4-процессорном компьютере является простейшим

синтенсивностью 1000 заданий в минуту. Среднее время обработки задания каждым процессором составляет 3 секунды. Если при поступлении задания все процессоры заняты, то задание помещается в очередь (очередь не ограничена). Требуется определить среднюю длину очереди и среднее число занятых процессоров.

15.В компьютерном классе установлен один принтер, скорость печати

39

которого в среднем составляет 2 страницы в минуту. Печать начинается сразу после поступления файла на порт принтера. Среднее время между поступлениями файлов на принтер составляет 1 минуту. Если в момент поступления файла на печать принтер занят, то задания выстраиваются в неограниченную очередь. Требуется определить среднюю длину очереди и общее время пребывания файлов в очереди, если каждый файл в среднем содержит по 5 страниц.

16.На базу данных (БД) сервера железной дороги поступает 10 запросов в секунду. Среднее время обработки каждого запроса составляет 1 секунду. Запрос, поступивший в момент обработки предыдущего запроса, становится в очередь. Определить вероятность наличия очереди и суммарное время, которое проведут запросы до обслуживания.

17.На автодорожной станции расположена гостиница, в которой имеется 20 мест. Посетитель в случае занятости мест уходит в другую гостиницу. Среднее время снятия гостиницы клиентом составляет 8 часов. Интенсивность потока поступления клиентов составляет 5 человек в час. Определить вероятность отказа и абсолютную пропускную способность данной гостиницы.

18.На телефонной станции железной дороги имеются три линии. Вызов, поступивший, когда все линии заняты, получает отказ. Поток вызовов является пуассоновским с интенсивностью 0,5 вызовов в минуту. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону и в среднем продолжительность разговора составляет 3 минуты. Найти вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускные способности и долю свободного времени, приходящегося в среднем на каждую линию.

19.Четырехканальный концентратор имеет буфер емкостью 10 Мб. Пакеты данных поступают на концентратор с интенсивностью 51 пакетов в секунду. Пакеты, поступившие в момент, когда заняты все каналы, выстраиваются в очередь в буфере обмена, если он занят – получают отказ. Средняя скорость одного канала 256 Кб в секунду. Определить абсолютную пропускную способность канала концентратора при среднем размере пакета 2 Кб.

20.Два рабочих обслуживают группу из четырех станков. Остановка рабочего станка происходит в среднем через 30 минут. Время работы и время

40

наладки распределено по экспоненциальному закону. Найти среднюю долю свободного времени для каждого рабочего и среднее время работы станка.

21.Для условия задачи 19 определить вероятность отказа передачи пакета и среднее число свободных каналов концентратора, если средний размер сообщения составляет 5 Кб.

22.Рассмотрим две рядом стоящие телефонные кабины, общая очередь перед которыми не бывает более трех человек («лишние» уходят к другим кабинам). Поток людей, желающих позвонить по телефону, является простейшим и имеет интенсивность 15 человек в час. Время, проводимое людьми в кабине, распределено по экспоненциальному закону и составляет в среднем 3 минуты. Найти среднюю долю времени, когда свободна одна кабина; вероятность того, что человеку придется искать другую кабину.

23.Для условия задачи 20 найти заданные характеристики системы, в которой два рабочих всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью.

24.В буфете автодорожной станции обслуживают клиентов два продавца. Интенсивность обслуживания одним продавцом составляет 0,5 человека в минуту. Посетители приходят в буфет со средним интервалом в 1 минуту. Если в момент прихода клиента все продавцы заняты, клиент встает в очередь, которая не может превышать 5 человек. Посетитель, не попавший в очередь, уходит в другой буфет. Определить вероятность отказа посетителю в обслуживании и среднее время ожидания в очереди.

25.Железнодорожный пропускной таможенный пункт состоит из трех линий досмотра. Время досмотра одного железнодорожного состава на линии досмотра в среднем составляет 4 часа. Интенсивность прибывающих составов составляет 2 состава в час. В случае занятости всех линий досмотра прибывший состав ставится на запасной путь. Определить абсолютную пропускную способность таможенного пункта и среднее время простоя линий досмотра.

26.Железнодорожная сортировочная горка, на которую подается простейший поток составов с интенсивностью 2 состава в час, представляет собой СМО с неограниченной очередью. Время обслуживания (роспуска) состава на горке имеет показательное распределение со средним значением времени 20 мин. Найти среднее число составов в очереди, среднее время пребывания состава в СМО, среднее время пребывания состава в очереди.