Материал: 3080

26

момент, когда все приборы обслуживания заняты, получают отказ и теряются, называются системами с потерями или отказами.

Системы массового обслуживания, у которых возможно появление как угодно длинной очереди требований к обслуживающему устройству, называются системами с ожиданием.

Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным числом мест в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди.

Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным временем ожидания.

По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные.

По месту нахождения источника требований СМО делятся на разомкнутые, когда источник находится вне системы, и замкнутые, когда источник находится в самой системе. К последнему виду относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, а следовательно, и требований на их обслуживание.

Одной из форм классификации систем массового обслуживания является кодовая (символьная) классификация Д. Кендалла. При этой классификации характеристику системы записывают в виде трех, четырех или пяти символов, например А | B | S, где А — тип распределения входящего потока требований, В — тип распределения времени обслуживания, S — число каналов обслуживания.

Для экспоненциального распределения принимают символ М, для любого (произвольного) распределения - символ G. Запись М | М | 3 означает, что входящий поток требований пуассоновский (простейший), время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, в системе имеется три канала обслуживания.

Четвертый символ указывает допустимую длину очереди, а пятый — порядок отбора (приоритета) требований.

3.2. Уравнение Колмогорова для вероятностей состояний. Системы,

представляемые в виде непрерывной цепи Маркова, обычно исследуют с помощью уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

27

Плотностью вероятности перехода λij из состояния Si в состоянии Sj

называется предел отношения вероятности этого перехода за время t к длине промежутка t, когда последний стремится к нулю:

состоянии Si , за время t перейдет в состояние S j .

Марковская непрерывная цепь называется однородной, если плотность вероятностей λ ij не зависит от времени t, в противном случае она называется неоднородной.

Для однородных Марковских непрерывных цепей, характеризующих процессы гибели и размножения, уравнения Колмогорова имеют вид:

dPdt0 = −λ01P0 (t) +λ10 P1(t),

..........................................

dPdti = −λi−1,i Pi−1(t) −(λi,i−1 +λi,i+1)Pi (t) +λi+1,i Pi+1(t),

(i =1,2,...,n)

..........................................

где Pi (t) - вероятность состояния Si , когда в системе находится i требований в момент времени t; n+1 – общее число возможных состояний S0 , S1,..., Sn.

При гипотезе о стационарном режиме работы системы (вероятности состояний не зависят от времени) уравнения Колмогорова принимают вид:

−λ01P0 +λ10 P1 = 0,

.............................

λi−1,i Pi−1 −(λi,i−1 +λi,i+1)Pi +λi+1,i Pi+1 = 0,

(i =1,2,...,n)

.............................

В большинстве практических задач оказывается допустимой гипотеза о стационарном режиме работы системы. Поэтому могут быть использованы уравнения Колмогорова второго вида.

Математические модели систем массового обслуживания, приводимые ниже, соответствуют уравнениям Колмогорова для стационарного режима

28

работы системы при условиях простейшего потока входящих требований и экспоненциального закона распределения времени обслуживания.

3.3. Системы массового обслуживания с отказами. СМО с отказами является такая система, в которой приходящие для обслуживания требования, в случае занятости всех каналов обслуживания, сразу ее покидают.

Вероятности состояний системы определяются из выражения

входящего потока требований; μ – интенсивность (производительность) одного канала (прибора) обслуживания, а вероятность отсутствия требований P0

К основным характеристикам качества обслуживания рассматриваемой СМО относятся:

Среднее число занятых узлов обслуживания M зан = ρ(1− PN ). Среднее число свободных узлов обслуживания Mсв = N − M зан.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, отсюда

Pотк + Pобс =1.

Относительная пропускная способность определяется по формуле

Q = Pобс =1− Pотк =1− PN .

Абсолютная пропускная способность СМО с отказами равняется

A = λPобс.

Коэффициент занятости узлов обслуживания определяется отношением средним числом занятых каналов к общему числу каналов

Kз = MNзан .

29

ПРИМЕР. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Пусть среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0,25 ч-1. Найти вероятность отказа и среднее число занятых ЭВМ.

Имеем: m =3, λ = 0,25ч−1, tобс =3ч. Находим:

3.4. Система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди. СМО с ограниченной длиной очереди является такая система, в которой требование, поступающее на обслуживание, покидает систему, если заняты все каналы обслуживания, и в накопителе заняты все места.

Вероятности состояний S0 , S1 ,..., SN находят по формуле

В большинстве практических задач должно соблюдаться отношение

Nρ <1, тогда выражение для P0 можно переписать в следующем виде