21
n
(∑pi =1) поступает на i-е направление, поток i-го направления также будет
i=1
простейшим с параметром λpi. Эти свойства простейшего потока широко используются на практике, поскольку значительно упрощают расчёты стационарного оборудования и информационных сетей.
2.8. Показательный закон распределения времени обслуживания.
Временем обслуживания называется время, затрачиваемое каждым узлом обслуживания на одно требование.
Время обслуживания характеризует пропускную способность каждого узла обслуживания, не связано с оценкой качества обслуживания и является случайной величиной.
Это объясняется неидентичностью узлов обслуживания и различием в спросе на обслуживание отдельных требований. Например, поступающие на ремонт вагоны имеют неисправности самого различного характера, попадают в различные ремонтные бригады, поэтому время на обслуживание для различных вагонов не будет одинаковым.
Во многих задачах теории массового обслуживания закон распределения времени обслуживания предполагается показательным и описывается выражением
F(t) =1−e−μt .
Параметр μ характеризует среднюю скорость обслуживания требований.
ЗАДАНИЕ №1
1.Дан пуассоновский поток с параметром 2 мин-1. Найти вероятность того, что длина интервала между соседними требованиями составляет от 1 до 2 минут.
2.Производится наложение («суперпозиция») двух простейших потоков с интенсивностями λ1 и λ2. Будет ли поток, получившийся в результате наложения, простейшим, и если да, то с какой интенсивностью?
3.Производится случайное прореживание простейшего потока событий с интенсивностью λ; каждое событие, независимо от других, с вероятностью p сохраняется в потоке, а с вероятностью 1-р выбрасывается. Каким будет поток, получающийся в результате прореживания простейшего потока?
22
4.Поток машин, идущих по шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с интенсивностью 2 машины в минуту. Человек выходит на шоссе, чтобы остановить первую попавшуюся машину, идущую в данном направлении. Найти закон распределения времени Т, в течение которого ему придется ждать машину; определить математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.
5.Поток машин, идущих по шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с интенсивностью 4 машины в минуту. Шоссе имеет развилку в два направления. Вероятность движения машин в первом направлении равна 0,12, а во втором - 0,88. Определить интенсивности движения автомобилей в обоих направлениях.
6.Рассмотрим простейший поток с нестационарным параметром,
изменяющимся по закону λ(t) =1+0,5cos(6πt) . Параметр является периодическим, его период равен 1/3. Найти вероятность отсутствия требований на отрезке [1;9].
7.Компьютерный класс связан с каналом Интернет через 10канальный концентратор. Интенсивности передачи данных по каждому из 10 каналов равны соответственно 540 бит/с, 120 бит/с, 40 бит/с, 170 бит/с, 350 бит/с, 60 бит/с, 742 бит/с, 153 бит/с, 500 бит/с, 100 бит/с. Поток данных подчиняется пуассоновскому закону распределения. Определить интенсивность передачи данных в канале Интернет.
8.Рассмотрим простейший поток с нестационарным параметром, изменяющимся по закону λ(t) =1+0,5sin(6πt) Параметр является
периодическим, его период равен 1/4. Найти вероятность поступления одного, двух и трех требований.
9. Для простейшего потока с нестационарным параметром, определяемым равенством λ(t) =3 + 2−t , найти вероятность поступления двух требований на промежутке времени [3;8].
10.По автомагистрали мимо наблюдателя движется в одном направлении простейший поток автомобилей. Известно, что вероятность отсутствия машин в течение 10 минут равна 0,8. Требуется найти вероятность того, что за 20 мин мимо наблюдателя пройдет не более трех автомобилей.
11.Производится случайное прореживание простейшего потока событий с интенсивностьюλ = 4 ; каждое событие, независимо от других, с
23
вероятностью p=0,6 сохраняется в потоке, а с вероятностью 1-р выбрасывается. Каким будет поток, получающийся в результате прореживания простейшего потока?
12.Рассмотрим простейший поток с нестационарным параметром,
изменяющимся по закону λ(t) = 2 +0,5sin(4πt) . Параметр является периодическим, его период равен 1/3. Найти вероятность отсутствия требований на отрезке [1;5].
13.Дан пуассоновский поток с параметром 1 мин-1. Найти вероятность того, что длина интервала между соседними требованиями составляет от 2 до 4 минут.
14.Поток машин, идущих по шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с интенсивностью 8 машин в минуту. Шоссе имеет развилку в три направления. Вероятность движения машин в первом направлении равна 0,12, во втором - 0,68, в третьем – 0,20. Определить интенсивности движения автомобилей во всех направлениях.
15.Поток машин, идущих по шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с интенсивностью 6 машин в минуту. Человек выходит на шоссе, чтобы остановить первую попавшуюся машину, идущую в данном направлении. Найти закон распределения времени Т, которое ему придется ждать; определить его математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.
16.Для простейшего потока с нестационарным параметром,
определяемым равенством λ(t) = 7 −5−t , найти вероятность поступления двух требований на промежутке времени [1;10].
17. В пункт текущего отделочного ремонта вагонов поступают требования на ремонт. Поток требований можно считать простейшим с интенсивностью λ = 0,307 . Найти вероятность того, что за час не поступит ни одного требования (вагона) на ремонт.
18. Время обслуживания для аппаратов некоторой системы массового обслуживания распределено по показательному закону F(t) =1−e−1,5t , где t - время в минутах. Найти вероятность того, что обслуживание продлится не более
15мин.
19.Для простейшего потока с нестационарным параметром, определяемым равенством λ ( t) = 3 + 2-2t, найти вероятность поступления двух
24
требований на промежутке времени [2;6].
20.В авторемонтную мастерскую поступает требование на ремонт. Поток требований можно считать простейшим с интенсивностью λ = 0,517. Найти вероятность того, что за час поступит одного требование (автомобиль) на ремонт.
21.Время обслуживания для аппаратов некоторой системы массового
обслуживания распределено по показательному закону F(t) =1−e−0,5t , где t - время в минутах. Найти вероятность того, что обслуживание продлится не более 5 мин.
22.Производится случайное прореживание простейшего потока событий с интенсивностью λ = 0,7 ; каждое событие, независимо от других, с вероятностью p=0,75 сохраняется в потоке, а с вероятностью 1-р выбрасывается. Каким будет поток, получающийся в результате прореживания простейшего потока?
23.Производится разбиение случайного простейшего потока событий с интенсивностью λ = 4,9 на три потока. Вероятности попадания событий в тот или иной поток соответственно равны p1 =0,2, p2=0,54, p3=0,26. Определить
интенсивности каждого получившегося потока в результате разбиения.
24.Время обслуживания для аппаратов некоторой системы массового обслуживания распределено по показательному закону F(t) = 4 - e -1,6 t, где t - время в минутах. Найти вероятность того, что обслуживание продлится не более 8 мин.
25.В авторемонтную мастерскую поступают требования на ремонт. Поток требований можно считать простейшим с интенсивностью λ = 0,617 . Найти вероятность того, что за час поступит одно требование (автомобиль) на ремонт.
26.Производится разбиение случайного простейшего потока событий с интенсивностью λ = 1,6 на 2 потока. Вероятности попадания событий в тот или иной поток соответственно равны p1=0,44, p2=0,56. Определить интенсивности каждого получившегося в результате разбиения потока.
27.Компьютерный класс связан с каналом Интернет через 5-канальный концентратор. Интенсивности передачи данных по каждому из 10 каналов равны соответственно 541 бит/с, 110 бит/с, 44 бит/с, 171 бит/с, 356 бит/с. Поток данных подчинятся пуассоновскому закону распределения. Определить
25
интенсивность передачи данных в канале Интернет.
28.Рассмотрим простейший поток с нестационарным параметром,
изменяющимся по закону λ(t) = 2 +0,5sin(4πt) . Параметр является периодическим, его период равен 1/3. Найти вероятность отсутствия требований на отрезке [4;9].
29.На автовокзал прибывает пуассоновский поток автобусов, в среднем 2 автобуса за 5 минут. Найти вероятность того, что за 15 минут прибудут 3 автобуса.
30.Время обслуживания для аппаратов некоторой системы массового
обслуживания распределено по показательному закону F(t) =1−e−4,5t , где t - время в минутах. Найти вероятность того, что обслуживание продлится не более 20 мин.
3.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
3.1.Классификация систем массового обслуживания. Большинство задач на автотранспорте связано с системами массового обслуживания.
Системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо видов услуг, а, с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов, называются системами массового обслуживания.
Система массового обслуживания включает следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (обслуживающий аппарат, канал обслуживания), выходящий поток требований.
Системы массового обслуживания классифицируют по разным признакам. Одним из признаков является ожидание требования начала обслуживания. В соответствии с этим признаком системы подразделяются на следующие виды:
1) системы массового обслуживания с потерями (отказами);
2) системы массового обслуживания с ожиданием;
3) системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди;
4) системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания.
Системы массового обслуживания, у которых требования, поступающие в