Материал: 2426

та груза. Данное сочетание координат, рассмотренное в качестве примера, описывает довольно распространенный частный случай положения груза в форме тела вращения. Рассмотрение пяти из шести обобщенных координат груза позволило уменьшить размерность массивов числовых данных и объем вычислительных экспериментов, не меняя принципиальной сути полнофакторной задачи, и сократить таким образом общее время расчетов. Все предложенные методики могут быть модифицированы и для нахождения оптимальной траектории груза, положение которого описывается шестью обобщенными координатами после соответствующего изменения, в частности увеличения размерности используемых массивов и количества вложенных циклов.

Заданы линейные и угловые координаты груза в начальной sнач и конечной sкон точках траектории груза в пространстве (рис. 3.1):

где xн0, yн0, zн0 – линейные координаты точки начала локальной системы координат груза OgХgYgZg в неподвижной системе координат O0Х0Y0Z0, связанной с рабочей областью перемещений, соответствующие начальному положению груза;

единицах (УЛЕ), угло-

вые – в радианах. Исходные направления осей Хg, Yg и Zg для отсчета углов поворота γ и ω во всех точках траектории груза совпадают с направлениями осей Х0, Y0 и Z0 соответственно.

Ось X0 неподвижной системы координат согласно принятому допущению № 3 направлена параллельно линии, соединяющей две точ-

65

Угол поворота α' будет равен

α'=atn((xк0'–xн0')/(zк0'–zн0')). (3.3)

Точка с координатами x', y', z' в исходной системе координат O0'Х0'Y0'Z0' будет иметь в преобразованной системе координат O0Х0Y0Z0 следующие значения координат:

x=x'∙cos(α')–z'∙sin(α'); z= x'∙sin(α')+z'∙cos(α'); y=y'. (3.4)

Подобным образом необходимо получить значения координат в преобразованной системе X0Y0Z0 для всех точек поверхности препятствий. Затем в преобразованной системе координат необходимо сформировать ту же поверхность, но уже на новой равномерной дискретной сетке X0Y0 с заданным шагом

где imax – количество разбиений траектории на кусочно-линейные участки.

Для этого используется известный способ двухмерной табличной линейной интерполяции [65, 191, 193]. Интерполяция позволяет найти вертикальные координаты промежуточных точек вблизи расположенных в пространстве узловых точек поверхности YПР(x,z).

Возникает также задача преобразования двух угловых координат груза γ' и ω' (углов поворота груза вокруг собственных осей Хg, Yg соответственно), предварительно заданных в системе координат O0'Х0'Y0'Z0', в аналогичные угловые координаты γ и ω в преобразованной системе координат X0Y0Z0.

Используя метод однородных координат [12, 127], сочетание двух угловых поворотов груза на углы γ' и ω' вокруг собственных осей координат OgХgYgZg можно представить в виде матрицы Aτ' размером 4×4. Матрица Aτ' определяется в результате определенной последовательности перемножения матриц поворота системы координат груза OgХgYgZg вокруг соответствующих осей собственной системы координат, начальные направления которых совпадают с направлениями осей системы координат O0'Х0'Y0'Z0':

где Aγ', Aω' – матрицы поворота вокруг осей Хg и Yg соответственно, имеющие следующий вид [45, 127]:

67