Материал: 2416

2.10.2.Решение методом комплексных чисел

1.Выразим сопротивления ветвей цепи в комплексной форме:

Z = R ± jX = ze± jϕ ,

2. Выразим заданное напряжение U в комплексной форме. Если не задана начальная фаза напряжения, ее можно принять равной нулю. Направление вектора напряжения при этом совпадает с положительным направлением действительной оси. Мнимая часть комплексного числа в этом случае отсутствует (рис. 2.26): U& = 220 В.

+j

U +

0

Рис. 2.26. Расположение вектора напряжения на комплексной плоскости

Ток в первой ветви

=( 3 + j3,14 ) +(10,7 − j12,1) =13,7 − j8,96 =16,35e− j32o45′ Ом.

60

Таким образом,

3. Для определения токов I&2 и I&3 найдем напряжение на параллельном участке U&bc :

Рис. 2.27. Векторная диаграмма токов и напряжений на комплексной плоскости

5.Выбрав масштаб по току и напряжению, по вычисленным значениям строим векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости (рис. 2.27).

6.Вычислим полную мощность

S=U& I&1 = 220 13,45e− j32o45′ = 2960e− j32o45′ ВА.

7.Для определения активной и реактивной мощностей кажущую-

ся мощность, выраженную комплексным числом в показательной

61

форме, переведем в алгебраическую форму. Тогда действительная часть комплексного числа будет являться активной мощностью, а мнимая – реактивной.

S=2960 cos 32º45´–j2960 sin 32º45´=2490–j1600 ВА. Откуда Р=2490 Вт, Q=1600 ВАр.

8. Для проверки составляем баланс активных мощностей

P = P1 + P2 = I12 R1 + I22 R2 =13,452 3 +25,72 3 = 2490 Вт.

Контрольные вопросы

1. Напряжение на зажимах данной цепи и=100 sin ωt. Определить показания амперметра и вольтметра, если R=100 Ом.

2.Через конденсатор емкостью С=0,1 мкФ протекает ток, действующее значение которого I=50 мА. Частота источника f=500 Гц. Определить амплитудное значение напряжения на конденсаторе.

1)≈225 В; 2) ≈450 В; 3) ≈45 В; 4) ≈22, 5В.

3.Группа электрических ламп общей мощностью 900 Вт включена в сеть переменного тока напряжением u =169sin(314t +60°) В. Оп-

ределить действующее значение тока.

1) ≈10, 6 А; 2) ≈5,3А; 3) ≈7,5 А; 4) ≈15 А.

4. К конденсатору емкостью 398 мкФ приложено переменное напряжение u =169sin(314t +60°) . Определить реактивную мощность

цепи.

1) ≈900 ВАр; 2) ≈450 ВАр; 3) ≈1800 ВАр; 4) ≈3600 ВАр.

5. В сеть переменного тока частотой 50 Гц включены последовательно катушка с активным сопротивлением 30 Ом, индуктивным сопротивлением 40 Ом и конденсатор емкостью 318 мкФ. Напряжение на конденсаторе 100 В. Определить напряжение на катушке.

1) ≈100 В; 2) ≈300 В; 3) ≈500 В; 4) ≈700 В.

62

6.Полное сопротивление пассивного двухполюсника при заданных действующих значениях напряжения и тока определяется выражением:

1)Z=U·I;

2)Z=U/I;

3)Z=Um·Im;

4)Z=I/U.

7.Какие потребители электрической энергии можно отнести к резистивным элементам с активными сопротивлениями:

1)лампы накаливания, реостаты, дроссели и конденсаторы;

2)реостаты, лампы накаливания, утюг;

3)компрессор, электроплита;

4)электронасос, вентилятор, электробритва?

8.Цепь переменного тока состоит из последовательно включен-

ных резистора R=40 Ом и конденсатора с сопротивлением XС=30 Ом. Определить полное сопротивление цепи.

9. Какая векторная диаграмма соответствует данной цепи при условии ХL = XC?

Ua I

63

10. По какой формуле определяется полное сопротивление данной цепи:

1) Z = R2 +( X L − X C )2 ;

11. Какая формула для расчета тока справедлива для данной це-

пи:

12. Цепь переменного тока, к которой приложено напряжение U=220 В, состоит из последовательно включенных резистора R=40 Ом и катушки индуктивности с сопротивлением XL=30 Ом. Определить ток, проходящий в данной цепи.

13.Какая векторная диаграмма соответствует указанной цепи?

1)U