Материал: 2416
Из треугольника мощностей: |
|
|
|
|
S = IU , |
|
|
|
(2.34) |
или |
|
|
|
|
S = P2 +Q2 = P2 +(Q |
L |
−Q )2 |
, |
(2.35) |
|
C |
|
|
где S – полная мощность; Р – активная мощность; Q – реактивная мощность.
Размерность полной мощности – вольт-ампер (ВА); размерность активной мощности – ватт (Вт); размерность реактивной мощности – вольт-ампер реактивный (ВАр).
Величина cos φ называется коэффициентом мощности цепи.
cosϕ = |
P |
. |
(2.36) |
||
|
|
||||
|
|
S |
|
||
P = S cosϕ = IU cosϕ. |
(2.37) |
||||
sinϕ = |
Q |
. |
(2.38) |
||
|
|||||
|
S |
|
|||
Q = S sinϕ = IU sinϕ . |
(2.39) |
||||
Полное сопротивление может быть представлено комплексным числом в алгебраической и показательной форме. Комплекс полного сопротивления в алгебраической форме
Z& = R + j( X L − X C ), |
(2.40) |
||
где j – мнимая единица ( j2 = −1). |
|
||
Комплекс полного сопротивления в показательной форме |
|
||
Z& = Z e jϕ , |
(2.41) |
||
где Z = R2 +( X L − X C )2 ; ϕ = arctg |
X L − X C |
. |
|
|
|
||
|
R |
|
|
2.5.Резонанс напряжений
Взамкнутом контуре электрической цепи (см. рис. 21), содержащей активное сопротивление R, индуктивность L и емкость С, при условии равенства реактивных сопротивлений
X L = X C |
|
(2.42) |
|
возникает резонанс напряжений. |
|
|
|
Выразим XL и XC через частоту ω и подставим в равенство (2.42). |
|||
ωрезL = |
1 |
, |
(2.43) |
ωрезС
откуда
45
ωрез = |
1 |
=ω0 , |
(2.44) |
|
LC |
|
|
где ωрез – частота питающего напряжения; ω0 |
– частота собственных |
||
колебаний LC-контура.
Резонанс напряжений возникает в том случае, когда частота питающего напряжения равна частоте собственных колебаний LC- контура.
Следовательно, добиться резонанса напряжений можно изменением частоты ωрез или параметров контура L и C.
При резонансе напряжений |
|
|
|
|
||
I = U |
= |
U |
= U |
= U |
, |
(2.45) |
Z |
|
R2 +( X L − X C )2 |
R2 +0 |
R |
|
|
т.е. полное сопротивление цепи становится минимальным и равным
|
только активному сопротивлению. Следова- |
UL |
тельно, ток при резонансе напряжений мак- |
|
симальный. |
|
|
При резонансе напряжений (рис. 2.13) |
|
UС |
|
U L =UC . |
(2.46) |
Ua=U |
I |
Если при этом |
|
|
X L = X C > R , |
(2.47) |
|
|
|
||
то напряжение на участке с индуктивным сопротивлением и равное ему напряжение на участке с емкостным сопротивлением будут больше питающего напряжения U.
Из векторной диаграммы (см. рис. 2.13) видно, что при резонансе напряжение U, приложенное к цепи, оказывается равным напряжению на активном сопротивлении (U=Uа) и совпадает по фазе с током I, т.е. угол сдвига фаз между I и U равен нулю (φ=0).
2.6. Пример расчета неразветвленной цепи переменного тока
Имеется неразветвленная (одноконтурная) цепь переменного то-
ка (рис. 2.14).
Дано: R1=2 Ом; R2=2 Ом; XL1=4 Ом; XL2=5 Ом; XС1=4 Ом; XС2=2 Ом; U=220 B.
Определить: Z (полное сопротивление цепи), cos φ, sin ϕ , S (пол-
ную мощность), Р (активную мощность), Q (реактивную мощность), I (ток цепи). Построить в масштабе векторную диаграмму.
46
R1 |
X |
R2 |
XL2 |
X |
XC2 |
|
L1 |
|
C1 |
||
u(U) |
|
|
|
|
|
|
|
|
i(I) |
|
|
Рис. 2.14. Неразветвленная цепь переменного тока |
|
||||
Решение.
1. Определим полное сопротивление цепи по формуле
Z = 
R2 +( X L − X C )2 ,
где R=R1+R2=2+2=4 Ом – арифметическая сумма всех активных со-
противлений; XL=XL1+XL2=4+5=9 Ом; XС=XС1+XС2=4+2=6 Ом – соот-
ветственно арифметические суммы однотипных реактивных (индуктивных и емкостных) сопротивлений.
Z = 
R2 +( X L − X C )2 = 
42 +(9 −6)2 = 5 Ом.
2. Вычислим ток по закону Ома для цепи переменного тока:
I = |
U |
= |
220 |
= 44 Α. |
|
Z |
5 |
||||
|
|
|
3. Из треугольника сопротивлений определим:
cos φ= |
R |
= |
4 |
= 0,8; sin φ= |
X L − X C |
= |
9 −6 |
= |
3 |
= 0,6 . |
|
Z |
5 |
Z |
5 |
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
По значениям тригонометрических функций найдем величину угла сдвига фаз:
φ=36º50′.
4.Полная мощность S=U·I=220·44=9680 ВА=9,680 кВА.
5.Активная мощность P = S cos φ=9680·0,8=7744 Вт=7,744 кВт.
6.Реактивная мощность Q=S·sinφ=9680·0,6=5808 ВАр=5,808
кВАр.
При построении векторной диаграммы тока и напряжений следует исходить из следующих условий:
1) через все сопротивления протекает одинаковый ток, так как схема одноконтурная;
2) на каждом сопротивлении создается падение напряжения, величина которого определяется по закону Ома для участка цепи:
–на активном сопротивлении Ua=I·R;
–на индуктивном сопротивлении UL=I·XL;
–на емкостном сопротивлении UС=I·XС.
47
Построение векторной диаграммы.
1. Зная величину тока (I=44 A), определим падения напряжения на всех сопротивлениях:
U L1 = I X L1 = 44 |
4 =176 Β; |
U a1 = I R1 = 44 2 = 88 В; |
|
U L2 = I X L2 = 44 |
5 = 220 Β; |
U a2 = I R2 |
= 44 2 = 88 B; |
UC1 = I X C1 = 44 4 =176 B; |
UC 2 = IC 2 |
= 4 2 = 88 B. |
|
2. Исходя из размеров бумаги (миллиметровка или тетрадный лист в клеточку), задаем масштаб по току и напряжению. Для рас-
сматриваемого примера принимаем: масштаб по току mI |
=10 А/см, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
масштаб по напряжению mU = 44 В/см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Длина вектора тока |
|
|
|
|
|
|
44 А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lI |
= I / mI |
= |
|
|
|
|
= 4,4 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
10 А/см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Длины векторов напряжений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
l |
UL1 |
=U |
L1 |
/ m |
= |
176 Β |
|
|
= 4 см |
; |
l |
Ua1 |
=U |
a1 |
/ m |
|
= |
|
|
88 Β |
|
|
|
|
= 2 см; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
U |
|
44 В/ см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
44 В/ см |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l |
UL2 |
=U |
L2 |
/ m |
= |
220 Β |
|
= 5 см |
; |
l |
Ua2 |
=U |
a |
2 |
/ m |
|
|
= |
|
88 Β |
|
|
|
|
= 2 см; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
U |
|
44 Β/ см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
44 Β/ cм |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
UC1 |
=U |
C1 |
/ m |
= |
|
|
|
|
176 Β |
|
|
= 4 см; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
UL2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
44 Β/ cм |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UC1 |
|
|
|
lUC 2 =UС2 |
/ mU |
|
= |
|
|
|
88 Β |
|
|
|
= 2 см. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ua2 |
|
|
|
|
|
44 Β/ cм |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
UC2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
UL1 |
|
|
|
|
|
|
|
3. Выполняем построение диа- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
граммы в следующей последователь- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
φ |
Ua1 |
I |
|
|
|
ности: |
|
|
|
|
|
|
|
вектор тока (рис. |
||||||||||||||||||
Рис. 2.15. Векторная диаграмма |
|
|
|
|
–проводим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2.15); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
для неразветвленной цепи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
–проводим векторы напряжений на каждом сопротивлении с учетом сдвига фаз относительно вектора тока, при этом следует придерживаться последовательности расположения сопротивлений на схеме
(см. рис. 2.14):
Ua1 →U L1 →Ua2 →U L2 →UC1 →UC 2 ;
48
|
|
|
|
находим сложением векторов, |
для чего |
|||
–вектор напряжения U |
||||||||
начало принятого за |
|
|
|
|
|
концом |
||
|
первый вектор Ua1 соединяем с |
|||||||
последнего вектора |
|
|
|
|
||||
UC 2 : |
|
|||||||
U =U a1 +U L1 +U a2 +U L2 +UC1 +UC 2 .
Угол φ является углом сдвига фаз между током и общим (приложенным) напряжением.
2.7. Анализ разветвленной цепи переменного тока методом проводимостей
Для расчета разветвленных цепей с большим числом ветвей обычно пользуются методом проводимостей. Проводимость измеряется в сименсах (См). Эта единица измерения является обратной по отношению к ому (Ом).
|
i(I) |
|
|
R1 |
R2 |
|
|
|
u(U) |
i1(I1) |
i2(I2) |
|
XL1 |
XC2 |
Рис. 2.16. Электрическая цепь с двумя параллельными ветвями
Токи в параллельных ветвях (рис. 2.16) определяются по закону Ома:
I1 = |
U = |
R2 |
U |
; |
(2.48) |
|
Z1 |
+ X 2 |
|
|
|
|
|
1 |
L1 |
|
|
I2 = |
U = |
R22 |
U |
. |
(2.49) |
|
Z2 |
+ X C21 |
|
|
Вектор тока I1 первой ветви отстает от вектора напряжения на угол ϕ1 , а вектор тока I2 второй ветви опережает вектор напряжения на угол ϕ2 .
Углы сдвига фаз можно определить исходя из соотношений:
49