Материал: 2312
Среднеквадратическая погрешность арифметического среднего М и среднеквадратическая погрешность самой среднеквадратической погрешности mm определяется по формулам
M |
m |
, |
|
(10) |
|
N |
|
||||
mm |
|
m |
. |
(11) |
|
2 N 1 |
|||||
СибАОценки (5)–(9) будут точечнымиД, определяющимисяИодним числом. При огран ченных объемах выборок следует использовать интервальные оценки, определяемые двумя числами и позволяющие установить точность надежность оценок.
Для сравнен я полученных из статистической обработки параметров распределен я с нормативными величинами определяем довери-
тельные |
нтервалы |
среднего значения и дисперсии или среднеквадра- |
||
тического отклонен |
я по вы орочным характеристикам |
x |
и m. |
|
Довер тельные интервалы задаются доверительной |
вероятностью |
|||
P 0,95 |
уровнем значимости (точностью оценки) q 0,05, учитывая, что |
|||
исследуемые совокупности измерений имеют ограниченный объем и вероятность появления отклонений, превышающих по абсолютной величине 2m .
Для генеральной совокупности доверительные интервалы математического ожидания a и стандарта определяются по выражениям [11, 17]:
x t m / N a x t m / |
N , |
(12) |
m t m / 2 N 1 m t m / |
2 N 1 , |
(13) |
где t – нормируемый множитель, зависящий от P; N – объем выборки. Оценки математического ожидания а и стандарта , приведенные
выше, являются предельными и справедливыми при больших N.
Для ограниченных объемов выборок, что имеет место у нас, для оценки a используется распределение Стьюдента и в выражение (12) вместо t вводится новый коэффициент tq – нормируемый множитель, который
зависит не только от P, но от количества элементов в выборке. Тогда для оценки апри ограниченных объемах выборок, выражение будет иметь вид
x tq m / |
N a x tq m / N . |
(14) |
При ограниченных объемах выборок, для оценок стандарта , ис- |
||
пользуется распределение 2 с N 1 степенями свободы |
|
|
m 1 g m(1 g) , |
(15) |
|
где m – среднеквадратическая погрешность;
g – величина, зависящая от объема выборки и вероятности.
6
Для представления характера эмпирического распределения исследуемых величин строят гистограмму (кривую эмпирического распределения) и кривую теоретического распределений. Кривая эмпирического распределения строится по относительным частотам. Кривая теоретического распределения строится по значениям вероятностей P xi по интервалам, соответствующим эмпирическому распределению.
Многочисленные исследования точности процессов возведения сооружений показывают, что в случае налаженных технологических
Ску первогоиродаб, а вероятностьАпоявленияДИотклонений, превышающих по абсолютной величине 2m, будет равна 0,05. Критерий, с помощью которого проверяют гипотезу о предполагаемом законе распределении, называется критерием согласия. Существует несколько критериев согласия, которые
процессов распределение погрешностей носит нормальный характер. В качестве нулевой статистической гипотезы при исследовании точности
устройства конструктивных слоев дорожных одежд можно принять ги- |
||||
потезу о нормальном характере распределения ошибок, а вероятности |
||||
P xi можно определ ть по формуле Лапласа |
|
|||
|
|
1 |
t |
|
|
Ф(t) |
e t2 / 2 dt , |
(16) |
|
|
|
|||
|
|
2 0 |
|
|
где t a x m |
ли t b x |
m ; |
|
|
a b – гран цы нтервала; |
|
|
|
|
x – средняя взвешенная; |
|
|
|
|
m – исправленное среднеквадратическое отклонение (среднеквад- |
||||
ратическая погрешность). |
|
|
|
|
Гистограмма не дает полного представления о характере эмпирическо- |
||||
го распределения. Исследованиями процессов возведения сооружений в на- |
||||
шей стране и за рубежом установлено, что они в основном подчиняются закону нормального распределения. Поэтому в качестве статистической гипотезы принимаем, что распределения значений x подчиняются нормальному закону, т.е. это будет нулевая гипотеза. При проверке нулевой гипотезы могут возникнуть ошибки первого рода, когда будет не принята правильная
гипотеза |
второго рода, когда принята неправильная гипотеза. Наиболее |
важным, для наших исследований, является устранение ошибки первого ро- |
|
да, а |
поэтому выбираем достаточно малый уровень значимости |
q 1 P 0,05. В этом случае только в 5% из 100% можно допустить ошиб- |
|
применяются в различных условиях: критерий 2 К. Пирсона, критерии
А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, Б.С. Ястремского, В.И. Романовского и др. При нулевой гипотезе о нормальном распределении в качестве критерия согласия удобно применить критерий (хи-квадрат), отличающийся
большой чувствительностью к конкурирующей гипотезе.
7
При проверке нулевой гипотезы с применением критерия 2 К. Пирсона используется случайная величина
|
к |
2 |
|
|
|
набл2 |
ni NP xi / NP xi , |
|
|
(17) |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
где n – эмпирические частоты; |
|
|
|
|
|
NP xi – теоретические частоты; |
|
|
|
|
|
к – число интервалов; |
|
|
|
|
|
P xi – теоретическая вероятность попадания xi в интервал |
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
N |
ni . |
|
|
(18) |
|
|
i 1 |
|
|
|
Если выч сленный по результатам наблюдений критерий К. Пир- |
|||||
сона окажется меньше критического значения набл2 |
кр2 , тогда нет ос- |
||||
нован й отвергать нулевую гипотезу. В случае набл2 |
кр2 |
необходимо |
|||
выполн ть проверку гипотезы с помощью других критериев. Критиче-
ские значен я кр2 |
рассчитываются по принятому уровню значимости q |
|
и числу степеней сво оды |
|
|
|
s k 1 r , |
(19) |
где k – число интервалов; |
|
|
r – число параметров предполагаемого распределения, которое |
||
оценивается по данным вы орки. |
|
|
Нормальное |
распределение оценивается двумя |
параметрами |
(а – математическим ожиданием, σ – среднеквадратическим отклонением), поэтому r 2 , тогда s k 3.
При малых выборках критерий 2 К. Пирсона может быть неэф-
фективным, поэтому, когда величина вычисленного критерия равна или превышает критическое значение, то следует выполнить дополнительную проверку с применением других критериев, чтобы не допустить ошибку первого рода ошибочно не отвергнуть нулевую гипотезу о
нормальном распределении,. Например, критерий согласия Б.С. Ястрем- |
||
ского менее чувствителен к конкурирующей гипотезе и характеризуется |
||
Си[2, 12] величинойбАДИ |
||
J Q k |
2k 4 , |
(20) |
где k – количество интервалов в выборке, 0,6 при k<20, величина Q |
||
вычисляется по формуле |
|
|
ni NP xi 2 |
|
|
Q NP xi 1 P xi . |
(21) |
|
Нулевая гипотеза принимается при J≤3.
8
|
|
|
|
2. И ЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ВЫСОТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ |
|
|
|
|
|||||||||||
СибАДИ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
КОНСТРУКТИВНЫХ СЛОЕВ ДОРОЖНЫХ ОДЕЖД |
|
|
|
|
||||||||||
|
Шаг нивелирован я через 10 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|||||||
|
|
|
татистическая обработка отклонений амплитуд высотных отметок от нормируемых |
|
|
||||||||||||||
а |
|
б |
|
Частота i |
, Частость w i |
на Серед x , нтервала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность ) (x Р i |
|||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интервалы |
|
|
|
|
|
|
|
ni(xi-x) |
ni(xi- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ni*xi |
xi-x |
̅ |
x)^2 |
t1 |
t2 |
Ф(t1) |
|
|
Ф(t2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̅ |
|
̅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
16 |
|
2 |
0,027 |
20 |
|
40 |
19,84 |
39,67 |
786,90 |
3,11 |
2,06 |
0,4991 |
|
0,4805 |
0,0186 |
||
16 |
|
8 |
|
n , |
0,096 |
12 |
|
84 |
11,84 |
82,85 |
980,57 |
2,06 |
1,02 |
0,4805 |
|
0,3464 |
0,1340 |
||
|
|
7 |
|
|
|||||||||||||||
8 |
|
0 |
|
28 |
0,384 |
4 |
|
112 |
3,84 |
107,40 |
411,93 |
1,02 |
0,02 |
0,3464 |
|
0,0085 |
0,3550 |
||
0 |
|
8 |
|
27 |
0,370 |
4 |
|
108 |
4,16 |
112,44 |
468,24 |
0,02 |
1,06 |
0,00855 |
|
0,3564 |
0,3478 |
||
8 |
|
16 |
|
8 |
0,110 |
12 |
|
96 |
12,16 |
97,32 |
1183,78 |
1,06 |
2,11 |
0,35637 |
|
0,4824 |
0,1261 |
||
16 |
|
24 |
|
1 |
0,014 |
20 |
|
20 |
20,16 |
20,16 |
406,60 |
2,11 |
3,15 |
0,48244 |
|
0,4992 |
0,0167 |
||
|
|
|
|
73 |
1 |
|
|
12 |
|
|
4238,03 |
|
|
|
|
|
|
|
0,9982 |
Примечание: где t1 = (a- x )/m, t2 = ( - x )/m. |
|
Доверительный интервал для " а " : |
||
x tq M a x tq M, где tq (N 73; P 0,95) 1,991 |
||||
x 20 / 79 0,164 мм |
||||
-0,164 - 1,996 * 0,90 < a < -0,164 + 1,996 *0,90 |
||||
|
|
|||
M 8,09 / |
79 0,90 мм |
-1,96 |
мм < a < 1,63 мм |
|
m 5098,94 / 79 1 7,67 мм |
||||
|
|
|||
mm 8,09 / |
2 79 1 0,08 мм |
|
|
|
|
|
|
Доверительный интервал для " σ " : |
|
|
|
m . |
(1 – g) < σ < m. (1 + g), где g (N = 73; P = 0,95) = 0, 161 |
|
7, 67* (1 - 0,174) < σ < 7,67 *(1 + 0,174) => 6,34 мм < σ < 9,00 мм
9
СибАДИРис. 1. Кривые эмпирического (практического) теоретического (нормального) распределения амплитуд вертикальных отметок поверхности покрытия
10