Материал: 2308

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

рожной конструкции – под действием равномерно перемещающихся по его границе вертикальных и горизонтальных сил, распределенных в пределах круга. Такое условие загружения полупространства достаточно эквивалентно реальному приложению колесных нагрузок от свободно движущегося или тормозящего автомобиля.

Аналогичные задачи рассматривались Sneddon I.N. в 1952 г. в Италии, Cole L., Huth L. в 1958 г. для случая равномерно движущейся нагрузки, распределенной вдоль прямой линии, а также Monde L.L. и Avramesco A. в 1961 г. в Париже для трехмерного полупространства, загруженного равномерно движущейся по поверхности сосредоточенной силой. Здесь вышеназванная задача решается на основе теории Синга и Куо, созданной в 1969 г. в Колумбийском университете Нью-Йорка (США).

а)

б)

Рис. 3. 1. Схемы вертикальной (а) и горизонтальной (б) равномерно распределенных в пределах круга нагрузок, действующих на поверхность

упругого полупространства

Предположим, что в неподвижной системе координат х1, х2, х3 изотропное идеально упругое полупространство занимает область х3 > 0. Свободная поверхность полупространства идеально гладкая и вдоль нее в направлении полуоси х1 движется с постоянной скоростью V нагрузка, распределенная по круговой области (рис. 3.1, а). Вектор перемещения и, компоненты которого в направлениях xi равны ui (i = 1, 2, 3), удовлетворяют уравнению равновесия

V u	2		(3.1)
		u u,

где λ, μ – постоянные упругости Ламе; – оператор Лапласа; ρ – плотность материала полупространства;

	E	;	(3.2)
	1 1 2

	E	,	(3.3)
	2 1

здесь Е – модуль упругости материала полупространства; σ – коэффициент Пуассона материала полупространства.

В соответствии с теоремой Гельмгольца выразим вектор и через произвольную скалярную функцию Ф и произвольную векторную функцию φ:

u Ф ,

(3.4)

где 0.

Уравнение (3.1) удовлетворяется в том случае, когда функции Ф и φi; (i =1, 2, 3) представляют собой решение следующих волновых уравнений:

Ф;

(3.5)

где С2 2 ; С2

СT

i i

μ ρ – квадраты скоростей распространения поперечных и

продольных волн напряжений в полупространстве.

Граничные условия на поверхности (х3=0) имеют вид

х , х

;

Х2 х1, х2 ;

(3.6)

33 Х3 х1

где х х v t; τ13 τ23

, х2 ,

– касательные напряжения;

τ33 –

нормальное напряжение;

хi – функции, определяющие распределение нагрузки.

Решение волновых уравнений (3.5)

можно записать так:

A0 ξ,η еi ξx1 ηx2 iC1x3 dξ dη;

(3.7)

i ξx

ηx

dξ dηη

A0 ξ,η е

V 2

; β

V 2

где С

1 β2 ξ2 η2

; С

1 β2 ξ2

η2 ;

β2

CL2

Выполняя условие (3.4) и подставляя (3.7) в (3.4), используем обобщенный закон Гука для однородного изотропного упругого тела. Затем, перейдя к цилиндрическим координатам Q и ρ и преобразовывая, можем записать выражения для перемещений в случае действия нормальной нагрузки произвольного очертания и распределения:

								2
u1					3		1				3 ,Q K1 cosQ
			X				1			X
			X				2			X
							2	0	0
	K							0	0
	K	2										еi T cos Q
		2		2		3cosQ cos3Q							dQ d ;	(3.8)
				2		3cosQ cos3Q							dQ d ;	(3.8)
	4				T
	4

u2												1			2					3 ,Q K1 sinQ
								3
						X												X
						X							2					X
													2		0	0
	K														0	0
	K		2																					еiT cos Q
			2		2						3sinQ					sin3Q										dQ d ;		(3.9)
					2						3sinQ					sin3Q										dQ d ;		(3.9)
4									T
4															1
		u3													1		2						3 ,Q К3
												3
										X											X
										X				2							X
			K													0			0
			K				2															еiT cos Q
							2					2 1 cos2Q													dQ d		,	(3.10)
												2 1 cos2Q													dQ d		,	(3.10)
				4								T
				4

где ρ – расстояние до рассматриваемой точки полупространства в отличие от обо-

3.1; К1

К2

2 1

К3

значения в

уравнении

;

2 1

8 1 2

2 1

К4

3 4 3 2

;

8 1 2

Если нагрузка на поверхности полупространства равномерно распре-

делена в пределах круга

P при r a;

X3 r,a

(3.11)

приr a,

то выражения для перемещений от вертикальной удельной нагрузки ρ3, распределенной равномерно в пределах круга радиусом а, будут

P a

1,1

cos

1,1

cos I

1,3

cos3

;

(3.12)

P a

1,1

sin

2 I

1,1

sin

1,3

sin3

;

(3.13)

P a

1,0

cos

2 I

1,0

1,2

cos2 .

(3.14)

Здесь введено единое обозначение интегралов

I p,g

I p a Ig r

d ,

(3.15)

аρ = 1 и g = 0, 1, 2, 3; Ip (aρ), Ig (rρ) – бесселевы функции.

Вычисление этих интегралов произведено при помощи гипергеометрической функции Гаусса, примененной дважды. Однако это возможно только при скорости движения нагрузки, меньшей, чем скорость распространения волн в упругом полупространстве, что вполне соответствует реальным скоростям движения автомобильных нагрузок. Значения интегралов, входящих в формулы (3.12), (3.13) и (3.14), приведены в табл. 3.1. Они даны для областей поверхности полупространства, находя-

щихся под нагрузкой (0 < r < а), на кромке нагрузки (r = a) и за пределами площадки погружения (0 < а < r).

Таблица 3.1

Формулы для бесселевых интегралов

Вид

Формулы для интегралов

интег-

при 0 < r < a

при

при 0 > r > a

рала

r=a

;

1 1

2 2

I1,0

;

;1;

2 2

I1,1

1,0;2;

F 1;0;2;

I1,3

2; 1;2

2 a2

2 r

I1,2

Обозначения в таблице:

F – гипергеометрическая функция Гаусса;

K, Е – полные эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода, которые табулированы и приведены ниже.

Наибольший интерес представляют перемещения поверхности полупространства по оси x1, когда r = 0 (см. рис. 3.1), а также на расстояниях r = а; r = 2а; r = 4а; r= 6а и r = 10а.

При этих условиях выражения (3.12), (3.13) и (3.14) будут иметь более простой вид

								P a													K	2
u		1		X		3			3				K		1	I		1,1				2	2		3I	1,1	I		;	(3.16)
u				X									K			I							2		3I		I		;	(3.16)
																					4			T					1,3
																					4
						u2	X3				P3				a		K1			I1,1 0;										(3.17)
						u2	X3										K1			I1,1 0;										(3.17)

							P a													K	2
u	3		X		3		3			K		3		I		1,0					2	2		I	1,0	I		1,2	.	(3.18)
u			X							K				I								2		I		I			.	(3.18)
																			4				T
																			4

Значения интегралов, входящих в вышеприведенные формулы, даны в табл. 3.2 зависимости от относительного расстояния r/а.

						Таблица 3.2
	Числовые значения эллиптических и бесселевых интегралов

r/а	K	E	I1,0	I1,1	I1,2	I1,3	I1,4

0	1,57	1,57	1,00	0	∞	0	∞

1	7,37	1,00	0,63	0,50	0,211	0	-0,042

2	1,68	1,46	0,25	0,25	0,225	0,187	0,142

4	1,59	1,54	0,12	0,125	0,119	0,118	0,110

6	1,58	1,56	0,11	0,083	0,076	0,081	0,042

10	1,57	1,57	0,04	0,050	0,053	0,049	0,049

Эти значения, а также выражения к уравнению (3.10) позволили произвести расчет вертикальных и горизонтальных упругих деформаций поверхности полупространства под действием нормальной движущейся нагрузки. При этом принято, что коэффициент Пуассона материала полупространства σ = 0,2, плотность ρ = 0,002 кг/см3. Расчеты прогибов выполнены для модулей упругости полупространства 100, 200, 300, 400 и 500 МПа, что соответствует реальной упругости дорожных конструкций. Удельная нагрузка Р3 (от 0,55 до 0,2 МПа) равна средним контактным давлениям от грузового и легкового автомобилей. Радиусы площадки загружения а приняты в расчетах 17, 15 и 8,5 см, что соответствует загружению расчетным, средним и легковым автомобилями, а скорости движения автомобильной нагрузки V = 10, 40, 80 км/ч.

Для иллюстрации результатов расчетов на рис. 3.2 приведены кривые вертикальных упругих деформаций поверхности упругого полупространства при последовательном воздействии на нее нагрузок от двух движущихся колес, отстоящих друг от друга на расстоянии 4 м (средняя база автомобиля). Рисунок имеет масштабные шкалы для определения упругого

прогиба от действия грузового и легкового автомобилей (и3а1 и и3а2 ) с параметрами Р3= 0,5–0,2 МПа и а1 =17 см; а2 = 8,5 см. Здесь же даны масштабные шкалы относительного расстояния распространения прогибов поверхности от действия грузового (r/а1) и легкового (r/а2) автомобилей. Из этого можно сделать выводы:

1.Кривые прогибов симметричны, что является следствием неучета эффекта последствия.

2.Наибольшие значения прогибов наблюдаются на расстояниях r/а = ±4 от центра приложения нагрузки. При ±10 r/а прогибы практически ничтожны, что дает основание их не учитывать в дальнейшем.

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET
01. Основные понятия системного анализа и теории систем