Материал: 2261
При параллельном соединении
C |
2Н / м 18Н / м 20Н / м. |
При последовательном соединении
C |
|
18 2 |
|
36 |
1,8Н / м. |
|
|
||||
|
18 2 20 |
||||
Деформации
1кг 9,8м/ с2 0,49м;
20Н / м
1кг 9,8м/ с2 5,44м.
1,8Н / м
Ответ: 20Н/м, 1,8Н/м, 0,49м, 5,44м.
Задача 4
Груз подвесили к концу вертикальной пружины и отпустили без начальной скорости (рис. 50). Определить закон колебаний груза, если в равновесном состоянии он растягивает пружину на величину СТ (статическое удлинение пружины).
Рис. 50. Расчетная схема подвеса груза
- 90 -
Решение
Поместим начало координат О в положение статического равновесия груза и направим ось Х вертикально вниз. Сила упругости
F C l,
где l X СТ – суммарная деформация пружины.
F C( X СТ ). |
(121) |
Составим дифференциальное уравнение движения:
m X C( X СТ ) mg. |
(122) |
Подставив в уравнение (122) выражение mg C СТ , получим
m X C СТ CX C СТ 0.
В итоге получим дифференциальное уравнение
. m X CX 0
Разделим обе части уравнения на m:
|
C |
|||
X |
|
X 0. |
||
Введём обозначение |
m |
|||
|
|
C |
|
|
|
|
|
02; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
X 02 X 0.
Интеграл этого дифференциального уравнения:
X C1 sin 0t C2 cos 0t
(123)
(124)
(125)
(126)
- 91 -
В данном уравнении – два неизвестных С1иС2. Чтобы найти два неизвестных нужно иметь второе уравнение. Для этого продифференцируем выражение (126) по времени:
|
dX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
0 |
C |
cos |
t |
0 |
C |
2 |
sin |
t. |
(127) |
|
dt |
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Постоянные интегрирования С1иС2 находим из уравнений (126) и (127) подставляя данные в момент t = 0 (при начальных условиях). В нашем случае при t = 0 начальное перемещение X X0 СТ , начальная скоростьX X0 0, учитывая что при t = 0
sin 0t 0,cos 0t 1 из уравнений (126) и (127) получим:
СТ С2 1; |
(128) |
0 0 С1. |
(129) |
Из уравнений (128) и (129) получаем
С2 СТ ;
С1 0.
Подставляя значения С1иС2 в общее решение дифференциального уравнения (126) получим уравнение колебаний груза.
X СТ cos 0t
Ответ: X СТ cos 0t,
где 0 
С ; С – коэффициент жёсткости пружины Н / м ; m – масса
m
груза [кг]; СТ – статическая деформация пружины от веса груза [м].
- 92 -
2.2.2.Задачи для самостоятельного решения
1.Дифференциальное уравнение движения имеет вид:
X + 26 X = 36sin (4t + 0,9).
Найти период и частоту вынужденных колебаний, амплитуду, коэффициент динамичности.
2.На груз массой 0,2 кг, подвешенный на пружине с коэффициентом жесткости 15 Н/м действует возмущающая сила F=0,6 sin 2t
Определить период, частоту и амплитуду вынужденных колеба-
ний.
3.Дифференциальное уравнение вертикальных колебаний тела, подвешенного на пружине с коэффициентом жёсткости 25 Н/м имеет вид:
X + 5X = 1,5 sin (3t + 4).
Определить максимальное значение возмущающей силы.
4.Тело массой 1,5 кг подвешено на пружине с коэффиценто жёсткости 150 Н/м и совершает вынужденные колебания под действием возмущающей силы F = 24sin t. Определить статическую деформацию, амплитуду вынужденных колебаний , а также угловую частоту возмущающей силы, при которой наступит резонанс.
5.Дифференциальное уравнение колебательного движения тела массой 8 кг имеет вид:
X + 12X + 64X = 18 sin 4t.
Определить коэффициент динамичности и амплитуду вынужденных колебаний.
6. Дифференциальное уравнение колебательного движения груза, подвешенного к пружине, имеет вид
X 20x 0.
Определить массу груза, если коэффициент жесткости пружины
С=150 Н/м.
Ответ: 7,5кг.
- 93 -
7.Определить период колебаний тела, подвешенного к вертикальной пружине, если статическая деформация пружины пружиныст 20см. Известно С=10 Н/м. Найти массу тела .
8.Определить частоту свободных вертикальных колебаний груза массой m = 10 кг, подвешенного на двух пружинах, если их эквивалентный коэффициент жесткости = 3,6 Н/м (рис. 51; 52).
С1 7,2Н / м ; С2 7,2Н м ; m =10 кг
Рис. 51. Последовательное |
Рис. 52. Параллельное |
соединение пружин |
соединение пружин |
Ответ: Т = 0,955 с.
9.Тело, подвешенное к пружине с жесткостью С = 700 Н/м совершает свободное вертикальные колебания с амплитудой А = 0,2м.
Определить массу тела, если колебания начались из положения статического равновесия с начальной скоростью 4 м/с .
Ответ: 1,75 кг.
10.Определить частоту свободных вертикальных колебаний груза массой m = 2кг, если С1 С2 С3 300Н / м (рис. 53).
Ответ: f0 10 рад.
с
Рис. 53. Схема последовательно-параллельного соединения пружин
- 94 -