Материал: 2231

d z = −4 d x + 8 d y.

2.

Найти полный дифференциал функции

z = 2ч н − arctg

x

+

6 .

y

x

Решение. Найдем полный дифференциал функции, используя

формулу (13):

ч н

x

6 ′

ч н

x

6 ′

d z = 2

− arctg

+

x

d x +

Д

2

− arctg

+

y d y =

y

x

y

x

1

x

x y

y

А

y2

6

x y

=

y 2

ln 2

−

−

d x +

x 2

ln 2

+

Иd x=

y2

2

2

1

+

x

1+

x

y

y

б

y

6

x

=

y 2x y ln 2 −

2

2

−

2

d x +

x 2x y ln 2

+

2

2

d x .

x

+ y

y

x

+ y

Найти∂ x

= −

∂ F

и ∂ y

= −

∂ F

,

функции

3.

полный

дифференциал

2sin(x + 2y − 3z) = x + 2y − 3z .

Решен е. Найдем полный дифференциал функции

z = z (x, y) ,

С

спользуя формулу (13). Функция задана неявно. Вычисляем ее част-

ные про зводные по формулам (10), (11):

∂ F

∂ F

∂ z

∂ x

∂ z

∂ y

∂ z

∂ z

где

2sin (x + 2 y − 3 z)− x − 2 y + 3 z = F (x , y , z).

Fy′ (x , y , z) = 2cos (x + 2 y − 3 z) 2 − 2;

И

Fz′(x , y , z) = 2cos (x − 2 y − 3 z)(− 3)+ 3.

Теперь

находим

частные

производные

неявной

функции

z = z (x, y) :

Д

∂

′

+

−

−

−

[

2cos(x

+ 2y − 3z) −1

Fx

2cos(x

2y

3z)

1

z = −

= −

=

]

= 1 ;

′

[

]

∂x

Fz

2cos(x + 2y − 3z)(−3) +

3

−3

3

2cos(x + 2y − 3z)−1

F ′

А

∂

2cos(x

+

2y

−

3z)

2

−

2

−2

[

2cos(x

+ 2y − 3z) −1

2

z

y

]

∂y

= −

Fz′

= −

2cos(x + 2y − 3z)(−3) + 3

= −3[2cos(x + 2y − 3z)−1]

= 3 .

б

По формуле (13) получаем вид полного дифференциала:

и

d z = 1 d x + 2 d y.

3

3

Пр бл женные выч сления с помощью полного дифференциала

Из формулы полного дифференциала (13), с учетом того, что

С

переменных

равны

их

приращениям

d x = ∆ x;

д фференц алы

d y = ∆ y ,

а д фференц ал функции приближенно равен ее прираще-

н ю d z ≈ ∆ z , получаем формулу приближенных вычислений

∆ z

(x

0

, y

0

) ≈

∂ z

(x

0

, y

0

)∆ x +

∂ z

(x

0

, y

0

)

∆ y .

(14)

∂ x

∂ y

z(x + ∆ x , y + ∆ y) ≈ z(x , y )+

∂ z

(x

, y )∆ x +

∂ z

(x

, y

)∆ y

. (15)

0

0

0

0

∂ x 0

0

∂ y

И

0

0

Примеры.

1.

Вычислить приближенно 5

1,002

3

7,995

.

Решение. Введем функцию z = 5

Д5

x

3

y

. В нашем примере

x = 1,002 = 1+ 0,002,

т. е.

x0 = 1,

∆ x = 0,002 ;

y = 7,995 = 8 − 0,005

, т. е.

y0

=

8;

∆ y = −0,005.

А1

2

Вычисляем далее по формуле (15). Находим частную производ-

ную по переменной x:

б

′

1

1

−

4

1

z′x = (5 x

3 y )′x

= x5 y3

x =

1 x

5 y3 .

Подставляем координаты точки (1, 8):

z′x (x0 , y0 ) = z′x (1,8) =

− 4

1

.

5

1

5 83 =

5

Наход м частную про зводную по переменной y:

′

1

1

′

1

1

−

2

5

3

5

y

3

=

x

5

y

3

.

z′y = ( x

y )y

= x

y

3

и

Подставляем координаты точки (1, 8):

С z′y (x0 , y0 ) = z′y (1,8) =

1

1

2

1

1 5 8−

3 =

.

3

12

и

Имеем

R0

= 10

см; ∆ R = −0,1 см; H0 = 30 см;

∆ H = 0,3 см.

С

′

Выч сляем частные производные

1

π R

2

H

′

=

2

π R H ;

VR′(10;30) =

2

π

10 30 = 200π ;

VR′ =

3

R

3

3

′

1

2

1 2

′

1

2

100

π R H

H =

π R ;

π 10 =

π .

VH =

3

3

VH (10;30) =

3

3

∆V (R

, H

0

)

≈ 200π (− 0,1)

+ 100 π 0,3 = −20π +10π ≈ −31,4 (см2 ).

0

3

Получили, что объем конуса уменьшился примерно на 31,4 см2.

§9. Полные дифференциалы высших порядков

Рассмотрим функцию z = f (x, y),

непрерывную,

дифференци-

x

y

D.

Дифференциалx y

руемую в некоторой области

1-го порядка такой

функции имеет вид (13)

d z = z′x d x + z′y

d y .

А2

Дифференциал второго порядка – это дифференциалИот диффе-

ренциала первого порядка, т.е. d 2 z = d ( d z). Вычислим второй диф-

ференциал:

б

2

= d (z

′

′

d y)= (z

′

′

′

d z

d x + z

d x + z

d y)x d x +

и

+ (z′x d x + z′y d y)′y

d y = z′′xx d x2 + z′y′x d y d x +

′′

′′

′′

′′

d x d y

′′

+ zxy

d x d y + zy y d y = z xx d x

+ 2 zxy

+ zy y d y .

С

Итак,

второй д фференциал (полный дифференциал 2-го поряд-

ка) функц

двух переменных имеет вид

2

′′

2

′′

′′

d

z = z xx d x

+

2 zxy

d x d y + zy y d y .

(17)

Аналогично

находим

дифференциал 3-го порядка. Т.к.

d 3 z = d (d 2 z), то

d

3

z = d

′′

2

′′

′′

(z xx d x

+ 2 zxy d x d y + zy y d y).