Материал: 2181
Приложим к маховику крутящий момент Мкр и закрутим вал на угол φс (например, 100). Мгновенно устраним действие Мкр. Под действием момента сил упругости Муп закрученный вал вернется в первоначальное положение. Далее, под действием момента сил инерции маховика Мин , вал закрутится в противоположную сторону на угол φс. Предположим, что сопротивления колебаниям отсутствуют, а инерцией вала пренебрегаем. Тогда
Mин Муп , |
Mин Муп 0. |
(5.1) |
Предположим, что одно полное колебание произошло за 2 с.
|
|
|
|
И |
|
|
|
Д |
|
|
|
А |
|
|
|
б |
|
|
|
и |
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
Рис. 5.1. Гармонические колебания системы вала с одной массой
Период колебания Т равен 2 с. Амплитуда колебания равняется значению с или максимальному углу поворота от своего нейтрального положения.
41
Частотой колебаний (кол/с) называют число колебаний за единицу времени
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Таким образом, в нашем примере 0,5 |
кол/с. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Круговая частота (рад/с) с – число полных колебаний, кото- |
||||||||||||||||||||||||||||||
рые совершаются за 2π единиц времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
2 |
2 |
. |
|
(5.3) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
||||
|
|
В нашем примере угловая скорость с |
3,14 рад/с. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Из формулы (5.3) находим период T |
2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
При частоте вращения 1 об/с (за 1 с совершается оборот) система |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|||||||||||||
проходит 3600, или 6,28 радиан (2 рад). Один радиан равен 57,30. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Момент касательных сил инерции M |
ин |
|
определяется выражением |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
И |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
Jм |
d2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ин |
|
dt2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.4) |
||||||||||
|
|
d2 |
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
2 d2 |
|
d |
|||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
– угловое ускорение маховика 1/с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
dt |
2 |
|
|
|
и |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||||
|
|
Момент упругости вала М уп , согласно закону Гука, равен |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
уп |
|
G Jр |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где G – |
модуль упругости материала при сдвиге (кручении), Н/м2; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Jр |
|
d4 |
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||
|
|
|
|
– момент инерции сечения вала диаметром d, в м ; – |
||||||||||||||||||||||||||||
|
32 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
угол закручивания вала при деформации; L – длина вала, м. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Уравнение (5.5) можно представить в виде |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mуп |
С , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.6) |
||||||||
где |
|
С |
G Jp |
– жесткость вала, |
представляющая собой крутящий |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
L
момент, Н·м, необходимый для закручивания вала на 10. Используя выражение (5.1), запишем [1]
42
Jм |
d2 |
|
G Jр |
0. |
(5.7) |
dt2 |
L |
Разделив обе части выражения (5.7) на величину Jм , получим
d2 |
|
G Jр |
0 . |
(5.8) |
|
dt2 |
L Jм |
||||
|
|
|
Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Введем обозначение
с |
|
G J |
р |
|
|
|
|
с |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
. |
(5.9) |
||||||
L Jм |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Jм |
|
||||||
Окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
2 |
|
|
|
, |
|
|
(5.10) |
||
|
|
|
|
с |
0 |
|
|
||||||
|
|
dt2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где с − круговая циклическая частота собственных крутильных ко-
лебаний, 1/с. |
б |
уравнением |
|
Уравнение (5.10) является |
дифференциальнымД |
||
свободных колебаний вала с одной массой. Найдем его решение. Так |
|
и |
0 име- |
как соответствующее характерАстическое уравнение k2 c2 |
|
ет два комплексных сопряженных корня ci, то решение уравнения (5.10) будет иметь в д
ПостоянныеСвеличины A и B находят из начальных условий. Начало движения – момент максимального угла закручивания ва-
e0 t A sin ct B cos ct A sin ct B cos ct. (5.11)
d
ла при t 0; c; dt 0. Из уравнения (5.11) получим
t 0 c A sin0 B cos0 B B c.
Для нахождения коэффициента A воспользуемся вторым началь-
ным условием, а именно d 0. Для этого найдем d выражения
dt |
dt |
(5.11) функции .
43
d |
|
|
|
|
A sin ct B cos ct t |
A c cos ct B c sin ct |
|
dt |
|||
|
|
A c cos ct B c sin ct.
d
Тогда A c cos0 B c sin0 0 A 0.
dt t 0
Таким образом, подставив в выражение (5.11) значения |
A 0, |
||
B c , получим |
|
|
|
c cos ct . |
(5.12) |
||
Уравнение (5.12) выражает гармоническое колебательное дви- |
|||
жение, в котором c является амплитудой или максимальным углом |
|||
|
|
И |
|
поворота маховика от своего нейтрального положения. |
|
||
|
Д |
|
|
5.4. Вынужденные крутильные колебания вала |
|
||
с одной массой |
|
|
|
Если к маховику приложить возмущающий момент МВ, |
изме- |
||
б |
|
|
|
няющийся по гармоническому закону |
|
|
|
MB M0 |
cos Bt, |
(5.13) |
|
где М0 – амплитуда гармон ческиАвозмущающего момента (зависит |
|||
от значения крутящего момента двигателя); В – |
круговая частота |
|||||||||||||||
возмущающего момента, то уравнение (5.7) примет вид |
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иG J |
р |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Jм |
d |
|
|
|
|
|
|
|
М0 cos Вt |
(5.14) |
|||||
|
dt2 |
|
L |
|
|
|||||||||||
или |
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
G Jр |
|
М |
0 |
cos Вt. |
(5.15) |
||||||
|
|
dt2 |
|
|
L Jм |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Jм |
|
|||||||
Учитывая содержание уравнения (5.10) и вводя обозначения
q M0 , получим уравнение
Jм
d2 |
2 |
|
|
||
|
с |
qcos Вt 0 |
, |
(5.16) |
|
dt2 |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
44 |
|
|
|
которое представляет собой уравнение вынужденных колебаний
вала с одной массой.
5.5. Последовательность расчета коленчатого вала на крутильные колебания
Расчет коленчатого вала на крутильные колебания включает [1]:
1.Приведение крутильной системы вала.
2.Определение частоты собственных крутильных колебаний приведенной системы.
3.Определение резонансной критической частоты вращения.
4.Выработку рекомендаций, устраняющих крутильные колеба-
ния.
5.5.1.Приведение крутильной Исистемы валаД
|
|
А |
|
б |
|
и |
|
|
С |
|
|
Рис. 5.2. Приведенная система коленчатого вала (слева); система коленчатого вала с двумя массами (справа)
При расчете крутильной системы вала учитывают массы коленчатого вала, поршней и шатунов. Приведение крутильной системы состоит из следующих этапов:
1. Вычерчивается схема коленчатого вала.
45