Материал: 2039
действует вращающий момент |
M = pm B sinφ, (1) где |
рm |
= |
I∙S – |
магнитный момент (вектор рm |
нап-равлен по нормали к контуру); В |
|||
– индукция магнит-ного поля; φ – угол между векторами |
рm |
и |
В . |
|
В начальном положении контур момент силы равен нулю |
||||
(по условию), следовательно, |
φ = 0, то есть векторы |
|
рm |
и В |
направлены в одну сторону. Если контур выводится из равновесия внешними силами, то возникающий момент сил (1) стремится вернуть контур в исходное положение.
Так как момент сил меняется в зависимости от угла φ, то для подсчёта работы применим формулу работы в дифференциальной форме δA = M∙dφ. Учитывая (1), δ A=I B S sinφ d φ. Работа при повороте контура на конечный угол φ* = π рад равна интегралу от
этого выражения в пределах от нуля до φ*: |
φ* |
A=I B S ∫sin φd φ. |
|
|
0 |
π
A=IBS∫sin φ d φ=IBS (−cosφ)|π0 =IBS (−cos π +cos0)=2 IBS .
0
Подобный результат можно получить, применяя формулу взаимосвязи работы консервативных сил и потенциальной энергии:
А = – Π, где П мех = − рm B – потенциальная энергия контура с током в магнитном поле; П мех = − рm B cosα, где рm – магнитный момент контура с током; α – угол между векторами pm и В ; pm = IS.
A = –(ISB∙cosπ – ISB∙cos0) = –ISB∙(–1– 1); A = 2ISB. Тот же результат можно получить по формуле
A = I·ΔΦ,
где ΔΦ = Ф2 – Ф1; Ф = B∙S·cosα – магнитный поток через поверхность S, ограниченную контуром; α – угол между вектором магнитной индукции и нормалью к контуру.
[ A]=А Тл м2 =A HA мм2 =Дж . A = 2·10·0,20·400 10-4 Дж = 0,16 Дж.
Пример 13. Проводящий стержень вращается в постоянном во
времени однородном магнитном поле. Ось вращения параллельна силовым линиям магнитного поля и проходит через один из концов стержня перпендикулярно ему (рис. 20). Частота вращения n = 300 оборотов в минуту, длина стержня l = 50 см, индукция поля B = 20 мТл. Найти разность потенциалов, возникающую на концах проводника.
70
|
φ |
1 |
– φ |
2 |
= U = ? |
|
Решение. Свободные электроны, двигаясь вместе |
|||
l = 0,50 м |
|
|||||||||
с проводником, |
смещаются под |
действием силы |
||||||||
α = 90° = π/2 рад |
||||||||||
Лоренца к одному из концов проводника, тогда как |
||||||||||
В = 20·10 –3 Тл |
||||||||||
n = 300 c –1 |
ионы металла, |
образующие |
кристаллическую |
|||||||
60 |
|
|
решётку, остаются на своих местах. При разделении |
|||||||
зарядов создаётся электрическое поле напряжённостью Е и появляется кулоновская сила F K=q0 E , уравновешивающая силу
Лоренца
F Л = q0 υ В sin α,
где q0 – заряд электрона; Е – напряжённость электрического поля; υ –
скорость упорядоченного движения свободных зарядов; В – индукция |
||||||||
магнитного поля; α – угол между между векторами υ и B (в данном |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случае α = 90°). |
|
|
|
|
|
|||
Учитывая |
связь |
напряжённости с разностью |
потенциалов, |
|||||
E= |
(φ1−φ2) |
, |
или |
E= |
U |
, искомую величину U найдём из условия |
||
l |
|
l |
||||||
|
F K=FЛ , |
|
|
|
||||
равновесия |
или |
q0 E = q0 υ В sin α, |
(1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
U = Bυl sin α, |
|
где l – длина проводника.
Формула в виде (1) не применима для расчёта разности потенциалов на концах вращающегося стержня (см. рис. 20), поскольку скорость υ различных точек стержня не постоянна, а линейно возрастает с удале-нием от оси вращения по закону
υ = ω∙r,
где ω – угловая скорость (ω = const); r – расстояние от оси вращения до точки стержня, движущейся со скоростью υ. Разность потенциалов
вданном случае можно найти двумя способами.
1.Способ дифференцирования и интегрирования. Разность потенциалов на концах бесконечно малого отрезка dr проводника, удалённого от оси вращения на расстояние r, равна
dU = Bωsin αr dr , где ω = 2πn.
Так как по условию угол α = 90°, sinα = 1, то dU = Bωr dr .
|
|
|
l |
|
l2 |
|
|
|
U =∫dU =Bω∫r dr=B ω |
. |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
U = B 2 π n l2 /2; U = Bπ n l2 ; |
|
|||||||
U = 20 10 |
−3 |
300 |
0,502 |
U = 79·10 |
-3 |
|
||
2 3,14 60 |
2 ; |
|
В = 79 мВ. |
|||||
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
2. Способ с использованием среднего значения переменной величины. Так как скорость υ, входящая в формулу разности потенциалов, изменяется по линейному закону, то для вычисления искомой величины U можно использовать среднее арифметическое значение υ в интервале изменения переменной величины υ. Скорость частиц стержня, усреднённая по длине, в данном случае равна полусумме:
υ = |
(υ1 + υ2) |
= |
(ω r1 + ω r2) |
, где r1 = 0; r2 = l; υ = |
ωl |
. |
|
|
|
2 |
|||||
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
Тогда разность потенциалов на концах вращающегося проводника
U = B υ l sin α, или U = |
B ω l |
|
l sin α = |
B ω l2 |
sin α. |
2 |
|
2 |
|||
Так как ω = 2 π n и sin α =1, |
|
|
|
||
то U = B π nl2 . |
|
|
|||
Задание 7. Напряжённость и потенциал электростатического поля
1.Электрический заряд 1,7 нКл равномерно распределён по тонкому кольцу с линейной плотностью 2,7 нКл/м. Найти напряжённость электрического поля в точках, равноудалённых от всех точек кольца на расстояние: а) 0,1 м; б) 1 м.
2.Две квадратные пластины площадью 1,0 м² находятся на расстоянии 1,0 см друг от друга. Разность потенциалов между пластинами 1000 В. Найти поверхностную плотность заряда и силу кулоновского взаимодействия пластин, пренебрегая краевыми эффектами.
3.Электростатическое поле создано длинным прямым цилиндром радиуса R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью σ = 0,2 мкКл/м². Определить силу, действующую на точечный заряд q = 25 нКл, удалённый на расстояние r = 10 см от оси цилиндра.
4.Поверхностная плотность заряда на бесконечной заряженной плоскости σ = 8,85·10-9 Кл/м2. Найти работу кулоновских сил по
перемещению точечного заряда q = 10 нКл на расстояние х = 2,0 см вдоль силовых линий электростатического поля данной плоскости.
5.Две круглые разноимённо заряженные пластины площадью по
50 см² расположены параллельно. Заряд первой пластины q1 = 8,85 нКл. Если расстояние между пластинами составляет 1,0 мм, пластины притягиваются с силой FI = 10 мН. Чему равен заряд второй пластины? Какой будет сила кулоновского взаимодействия пластин, если расстояние между ними увеличить до 1,0 м?
72
6. Две параллельные пластины расположены на расстоянии d = 4 мм друг от друга. Разность потенциалов между ними U = 20 В. Часть пространства, прилегающая к одной пластине, заполнена стеклом (d1 = 3,0 мм), остальная часть – фарфором. Найти напряжённости электрического поля в стекле Е1 и в фарфоре Е2.
7.Бесконечная плоскость, расположенная горизонтально, заряжена с поверхностной плотностью σ = 9,0 мкКл/м². Сплошной алюминиевый шарик радиуса R с зарядом q = 0,367 мкКл помещают над плоскостью, не касаясь её. Каким может быть значение R, чтобы шарик не падал?
8.На бесконечном тонкостенном цилиндре диаметром 10 см
равномерно распределён заряд с поверхностной плотностью 10 нКл/м². Определить напряжённость поля в точках, отстоящих от поверхности цилиндра на 5,0 см.
9. Найти электрическое смещение D и напряжённость E электрического поля в кварцевой пластине толщиной d = 5 мм, когда к ней приложено напряжение U = 20 кВ.
10. В однородном электрическом поле с напряжённостью 60 кВ/м перемещается заряд 5 нКл. Вектор перемещения, равный по модулю 20 см, составляет угол 60° с направлением силовых линий поля. Найти разность потенциалов между конечной и начальной точками, работу, совершённую при перемещении заряда.
Задание 8. Принцип суперпозиции электрических полей
1.На тонком стержне длиной 20 см равномерно распределён электрический заряд. На расстоянии 10 см от стержня по его оси находится точечный заряд 40 нКл, на который действует со стороны стержня кулоновская сила 6 мкН. Определить линейную плотность заряда на стержне.
2.В парафине расположены две параллельные металлические пластины, имеющие поверхностные плотности электрического заряда
σ1 = 2 мкКл/м2 и σ2 = 4 мкКл/м2. Определить электрическое смещение D и напряжённость Е электрического поля между пластинами.
3.Электрический заряд распределён по тонкому кольцу диаметром
10см. Линейная плотность заряда равна 3 нКл/м. Оценить напряжённости электрического поля в центре кольца и в точке на оси кольца, удалённой от его центра на расстояние 1 м.
73
4.Четыре одинаковых точечных заряда по 10 нКл расположены в вершинах куба на одной его грани. Длина ребра куба a = 10 см. Заряды находятся в среде с диэлектрической проницаемостью ε = 2,2. Определить напряжённость электростатического поля в центре грани куба, расположенной напротив той, где находятся заряды.
5.На тонком стержне длиной L равномерно распределён заряд с линейной плотностью 10 нКл/м. Найти электрический потенциал поля, образованного стержнем в точке, удалённой от его ближайшего конца на расстояние L вдоль стержня.
6.Две концентрические проводящие сферы радиусами RA = 6,0 см и RВ = 10,0 см несут заряды 1 и –0,5 нКл, соответственно. Найти напряжённости электростатического поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояния: I) 5,0 см; II) 9,0 см; III) 15 см.
7.Два одинаковых точечных заряда по 0,1мкКл помещены в точках (0; 3; 0) и (3; 0; 0) прямоугольной системы координат. Координаты точек даны в метрах. Определить силу (модуль и направление), действующую на заряд 10 мкКл, помещённый в точку (0; 0; 0).
8.Электрическое поле создано тремя точечными зарядами 10 нКл, расположенными вдоль одной прямой с интервалом 1,0 см. Найти кулоновскую силу, действующую на один из крайних зарядов.
9.Нить в форме полукольца радиусом R = 10 см равномерно заряжена с линейной плотностью заряда τ = 0,2 мкКл/м. Определить напряжённость электрического поля, созданного нитью в центре окружности, частью которой является нить.
10.Четыре одинаковых точечных заряда по 10 нКл находятся в вершинах куба на одной грани, площадь которой S = 100 см2. Найти плотность энергии электростатического поля в центре противоположной грани. Заряды погружены в керосин (ε = 2,0).
Задание 9. Электроёмкость. Закон сохранения заряда и закон сохранения энергии в электростатике
1. К воздушному конденсатору, заряженному до 500 В и отключённому от источника, присоединён параллельно второй конденсатор таких же размеров и формы. Напряжение на выводах полученной батареи конденсаторов оказалось равным 70 В. Определить диэлектрическую проницаемость вещества между обкладками второго конденсатора.
74