Материал: 1823

Максимизация функции Z2 осуществляется при условиях (3.7) и дополнительном ограничении на Z1, позволяющем учесть величину уступки 1 ( Z1* 1 4 ), которое будет иметь вид:

Задача (3.5), (3.7), (3.8) также решается графически (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Максимум функции Z2 при условиях (3.7), (3.8) достигается в точке B части Q1 области Q, так что

x1** 8 / 3; x2** 10 / 3; max Z2 Z2* Z2 (B) 26 / 3.

Второе дополнительное ограничение получается из условия Z2* 2 7 и будет иметь вид:

Максимизируя функцию Z3 при условиях (3.7), (3.8), (3.9) с помощью графического метода, получаем оптимальное решение рассматриваемой трёхкритериальной задачи, которое представлено на рис. 3.3 (точка C).

11

программирования. В задачах линейного программирования экстремум целевой функции находится только на границе, что не является справедливым для нелинейных задач. Поэтому наибольшее или наименьшее значение функции без учета того, где находится такое значение (внутри заданного интервала или на его границе), называют не экстремумом, а оптимумом. Оптимум — более широкое понятие, чем экстремум. Если экстремум есть не у всех функций, то в практических задачах оптимум существует всегда, причем он может быть как локальным, так и глобальным.

К задачам оптимизации в нелинейном программировании относятся задачи безусловной и условной оптимизации.

Задачами безусловной оптимизации называются такие, в которых задается лишь одна целевая функция F – (4.1), без указания ограничений и граничных условий (эти задачи носят теоретический характер, так как на практике граничные условия задаются всегда). В этих задачах понятия оптимума и экстремума совпадают, и для нахождения оптимума применяют методы нахождения экстремума.

Задачами условной оптимизации называются задачи, в которых кроме целевой функции задаются некоторые дополнительные условия и ограничения - (4.2) – (4.3). Ограничения могут быть заданы в виде, как уравнений, так и неравенств, при этом введение ограничений либо не влияет на оптимум, либо ухудшает его, подтверждая тем самым вывод, сделанный для задач линейного программирования, что введение дополнительных условий не улучшает оптимального решения, а в ряде случаев приводит к

несовместности.

Аналитические методы решения задач безусловной оптимизации заключаются в поиске экстремума функции F - (4.1), который находится (как уже рассматривалось ранее) в точке с координатами, определяемыми в результате решения следующей системы уравнений:

13

определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка функции F(X)=f(x1,x2,…,xn):

В стационарной точке X0 функция f(X) имеет максимум, если d2f(X0)<0, и минимум, если d2f(X0)>0, при любых xi и xj, не обращающихся в нуль одновременно.

Вектор столбец, составленный из частных производных функции F=f(x1,x2,…,xn):

направление наискорейшего увеличения функции. Вектор, противоположенный градиенту, называют антиградиентом, он показывает направление скорейшего уменьшения функции. Численной мерой градиента, как и любого вектора, является модуль, определяемый как:

то признаком экстремума является условие M=0.

Наиболее простая задача условной оптимизации имеет вид:

14