Материал: 1823

x1 x2 4,

x1 2x2 2, x1 2x2 10, x1 0, x2 0.

c). Найти максимальное значение целевой функции

F x1 x2

при ограничениях x1 4x2 4 0, 3x1 x2 0,

x1 x2 4 0, x1 0, x2 0.

d). Найти минимальное значение целевой функции

F 2x1 x2

при ограничениях x1 x2 4,

2x1 x2 2,

x1 2x2 10, x1 0, x2 0.

e). Найти максимальное значение целевой функции

F x1 x2

при ограничениях

2x1 x2 2, x1 2x2 8, x1 x2 5,

x1 0, x2 0.

f). Найти максимальное значение целевой функции

F 4x1 2x2

при ограничениях

6

x1 2x2 0, x1 2x2 2, 2x1 x2 10, x1 0, x2 0.

g) Найти максимальное значение целевой функции

F 2x1 3x2

при ограничениях x1 3x2 18,

2x1 x2 16, x2 5,

3x1 21,

x1 0, x2 0.

h). Найти минимальное значение целевой функции

F 4x1 6x2

при ограничениях

3x1 x2 9, x1 2x2 8, x1 6x2 12, x1 0, x2 0.

i). Найти максимальное значение целевой функции

F 3x1 3x2

при ограничениях x1 x2 8,

2x1 x2 1, x1 2x2 2, x1 0, x2 0.

j). Найти максимальное значение целевой функции

F x1 x2

при ограничениях

7

2x1 4x2 16,4x1 2x2 8, x1 3x2 9,

x1 0, x2 0.

е). Задачи 1-3 решить симплексным методом, составить задачи двойственные данным и найти их решения.

1. F x1 x2 max

при ограничениях

x1 x2 2, x1 2x2 13, 3x1 x2 6, x1 0, x2 0.

2. Z 10y2 3y3 min

при ограничениях

2 y1 y2 y3 1, y1 2 y2 y3 3, y1 0, y2 0, y3 0

3. F x1 x2 max

при ограничениях

x1 4x2 4 0, 3x1 x2 0,

x1 x2 4 0, xi 0, x2i 0.

3. Задачи многокритериальной оптимизации

Задачу многокритериальной оптимизации можно сформулировать следующим образом:

8

В процессе решения задач многокритериальной оптимизации предварительно проводят экспертные оценки, как самих критериев, так и взаимоотношений между ними, и на основе этих оценок выбирают один из следующих методов решения:

оптимизация одного признанного наиболее важным критерия, остальные критерии при этом играют роль дополнительных ограничений;

упорядочение заданного множества критериев и последовательная оптимизация по каждому из них с помощью

метода последовательных уступок;

сведение многих критериев к одному введением экспертных весовых коэффициентов для каждого из критериев таким образом, что более важный критерий получает более высокий вес.

Решение задачи многокритериальной оптимизации (3.1), (3.2) должно принадлежать пересечению множеств оптимальных решений всех однокритериальных задач, которое обычно оказывается пустым, поэтому рассматривается обычно множество

эффективных решений – оптимальных по Парето. Критерий оптимальности итальянского экономиста В. Парето применяется при решении таких задач, когда оптимизация означает улучшение одних показателей при условии, чтобы другие не ухудшились.

Определение. Вектор X * Q называется эффективным (оптимальным по Парето) решением задачи (3.1), (3.2) если не существует такого вектора X Q , что

Множество допустимых решений, для которых невозможно одновременно улучшить все частные показатели эффективности (т.е. улучшить хотя бы один из них, не ухудшая остальных), принято

9

называть областью Парето, или областью компромиссов, а

принадлежащие ей решения – эффективными, или

Пусть задача трёхкритериальной оптимизации имеет вид:

Так как коэффициенты при одних и тех же переменных в частных критериях имеют разные знаки, то в заданной области допустимых решений невозможно улучшить все частные критерии, т.е. область Парето совпадает с областью допустимых решений (3.7).

Для определённости можно предположить, что допустимые уступки по первым двум критериям заданы: 1=3; 2=5/3. Тогда можно решить однокритериальную задачу (3.4), (3.7) с помощью графического метода (см. рис. 3.1).

X2 4A

3

Q

Рис.3.1.

Максимум функции Z1 при условиях (3.7) достигается в точке A области Q с координатами (1;4):

x1* 1; x2* 4; max Z1 Z1* Z1 (A) 7.

10