Материал: 1823

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

В.Г. Спицын Методические указания

к выполнению практических работ по дисциплине “Математические методы исследования систем”

Томск 2012

1

1. Математические методы и их применение при принятии управленческих решений

Математическая модель системы - это ее отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков. Таким образом, модель - это условный образ системы, созданный для упрощения ее исследования, получения о ней новых знаний, анализа и оценки пронимаемых решений в конкретных или возможных ситуациях.

Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Системы линейных уравнений

При исследовании поведения функции и формы ее графика полезно установить, на каких интервалах график функции обращен выпуклостью вверх, а на каких - выпуклостью вниз.

Определение. График функции y f (x), x (a;b)

называется выпуклым вверх (вогнутым вниз) на интервале (a,b), если график расположен ниже (точнее не выше) любой своей касательной. Сама функция f(x)также называется выпуклой вверх (вогнутой вниз).

Определение. График функции

называется выпуклым вниз (вогнутым вверх) на интервале (a,b), если он расположен выше (точнее не ниже) любой своей касательной. Сама функция f(x)также называется выпуклой вниз (вогнутой вверх).

На интервале выпуклости вверх (вогнутости вниз) производная функции убывает.

На интервале выпуклости вниз (вогнутости вверх) производная функции возрастает.

Достаточное условие выпуклости графика функции. Если на

вторую производную, то график функции является выпуклым вверх (вниз).

Точка графика непрерывной функции f(x), в которой существует касательная и при переходе через которую график функции меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Необходимое условие существования точки перегиба. Если дифференцируемая функция y f (x), x (a;b) , имеет

2

непрерывные производные до второго порядка включительно на

интервале (a;b) и при переходе через x0 (a;b) , вторая производная

точкой перегиба.

ЗАДАЧИ

1.Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графиков следующих функций:

a)y x3 3x2 2x 1;

b)y 3x2 x3 ;

5

c)y x x 3 ;

d)y ln(1 x2 ) .

2.Исследовать на экстремум следующие функции двух переменных:

a)y x12 2x1 x2 2x22 x1 2x2 ;

b)y x12 x22 ;

c)y x12 4x1 x2 x22 ;

A1 (5,4,3,2), A2 (3,3,2,2), A3 (8,1,3, 4)

линейно-зависимой; если она линейно-зависима, то найти ее максимальную линейно-независимую подсистему.

4. Показать, что функция f (x1 , x2 ) 2x13 x2 6 является выпуклой при

x1 0 .

5. Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m<n) называются основными или базовыми, если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные n-m переменных называются неосновными или свободными.

Найти все возможные группы основных переменных в системе (1).

3

x1 x2 2x3 x4 0,

7. Базисным решением системы m линейных уравнений с n переменными называется решение, в котором все n-m неосновных переменных равны 0.

Найти все базисные решения системы (1)

8. Является ли точка X выпуклой линейной комбинацией точек X1 , X 2 , X 3 , если соответствующее выражение имеет вид:

a) X 1 3 X1 1 2 X 2 1 3 X 3 ; b) X 1 6 X1 1 2 X 2 1 3 X 3 ; c) X 1 3 X1 1 2 X 2 73 X 3 ; d) X 1 6 X1 1 2 X 2 1 3 X 3 .

2 Линейное программирование и теория двойственности

Линейное программирование (планирование) - математический метод поиска максимума или минимума линейной функции при наличии ограничений в виде линейных неравенств или уравнений.

С каждой задачей линейного программирования связана другая задача, называемая двойственной по отношению к исходной.

1.Если первая задача имеет размеры m n (m ограничений с n неизвестными), то вторая – размеры n m.

2.Каждому ограничению исходной задачи соответствует переменная двойственной задачи, называемая двойственной переменной. Каждой переменной исходной задачи соответствует ограничение двойственной задачи; так, если в исходной системе имеется три переменных, то двойственная задача также должна иметь три ограничения.

3.Матрица коэффициентов при двойственных переменных в ограничениях двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов при переменных, состоящих в

4

понированный аналог АT (столбцы превращаются в ряды) имеют вид:

4. Если в исходной задаче ограничения имеют знаки неравенств типа ( ) меньше, то в двойственной они изменяются на противоположные - типа больше ( ).

5.Правые части ограничений в двойственной задаче равняются коэффициентам при переменных целевой функции в исходной задаче, а коэффициенты при двойственных переменных в целевой функции двойственной задачи равняются правым частям ограничений исходной задачи.

6.Максимизация целевой функции исходной задачи заменяется минимизацией целевой функции двойственной задачи.

2.Решить геометрически и проверить на компьютере (Excel) следующие задачи:

a) Найти максимальное значение целевой функции

F 2x1 6x2

при ограничениях x1 x2 2,

x1 2x2 4, x1 2x2 8, x1 0, x2 0.

b). Найти минимальное значение целевой функции

F 2x1 x2

при ограничениях

5