Материал: 1785

автоматическом режиме. В последнем случае большинство постановок задач параметрической оптимизации технических объектов и систем

определении таких значений входных параметровИисследуемого объекта или системы, которым соответствует наилучшее (минимальное или максимальное) значение целевой функции [4].

Базовая задача оптимизации ставится как задача математического программирования:

extr F(X)

X D

D {X | (X) 0, (X) 0},

21

где F(X) — целевая функция, X — вектор управляемых (проектных) параметров, (X) и (X)— функции-ограничения, D —допустимая область в пространстве управляемых параметров. Задача математического программирования интерпретируется как задача поиска экстремума целевой функции путем варьирования управляемых параметров в

а g(Xk) — направление поиска.

В зависимости от того, используются при поиске производные целевой функции по управляемым параметрам или нет, различают методы нескольких порядков. Если производные не используются, то имеет место методы нулевого порядка. Если используются первые или вторые производные, то соответственно методы первого или второго порядка. Методы первого порядка называют также градиентными,

поскольку вектор первых производных F(X) по вектору параметров Х есть

Суть всех градиентных методов заключается в использовании вектора градиента для определения движения к оптимуму. Основное свойство градиента, которое обусловливает его эффективное применение при поиске экстремальных значений функций многих переменных является тот факт, что вектор градиента всегда направлен в сторону наиболее быстрого возрастания функции в данной точке.

22

23

Метод градиента

Сущность этого метода сводится к выполнению следующих операций: 1.В исходной точке определяется градиент рассматриваемой

функции.

2. В направлении градиента осуществляют рабочий шаг.

Здесь необходимо особо отметить пошаговую процедуру поиска, которая заключается обычно в следующем:

а) определяются точки, откуда шагаем и куда шагаем; б) сравн ваются откл ки в этих точках и шаг считается удачным,

если вел ч на целевой функции улучшилась, т.е. увеличилась при поиске макс мума (max) и уменьшилась при определении минимума

ДвижениебАпо изложенному алгоритму осуществляется до тех пор, пока не будет достигнут глобальный экстремум с заданной точностью поиска. Иначе говоря, расчеты заканчиваются только в том случае, когда движение из последней удачной точки не приводит к улучшению целевой функции. При этом последняя удачная точка поиска считается глобальным экстремумом рассматриваемой функции. Основным

производной по каждой координате.

недостатком данного метода являетсяДбольшой объем вычислений [4].

Метод релаксаций

Метод релаксаций заключается в следующем:

а) определяют частные производные рассматриваемой функции по

б)из всех вычисленных производных определяют наибольшую;

в)в направлении наибольшей производной осуществляется первый шаг и если он оказался удачным, то величину последующего шага удваивают и осуществляют в этом же направлении еще один шаг. Если и он оказался удачным, то предыдущий шаг вновь удваивают. Эта последовательность применяется до тех пор, пока не будет произведен неудачный шаг. При неудачном шаге величина

24

вновь деление предыдущего шага пополам до тех пор, пока последний шаг не будет меньше или равен заданной точности поиска.

В этой точке определяют вновь частные производные по осям координат от рассматриваемой функции, из которых выбирают наибольшую. Предположим, что это направление будет по оси х2, по которой продолжают движение по вышеизложенному алгоритму до следующего экстремума по заданному направлению и т.д.

Метод крутого восхождения (наискорейшегоИспуска) сочетает наилучшие свойства предыдущих методов и сводится к следующему:

а)определяется градиент в исходной точке; б)в направлении градиента осуществляется не один шаг, как в методе

градиента, а несколько шагов, пока не будет достигнут экстремум в данном направлении. Причем, каждый последующий шаг удваивается после того, как предыдущий шаг окажется удачным. Шаг считается удачным, если в результате движения функция улучшается, т.е. увеличивается при поиске максимума и уменьшается при определении минимума;

25