Материал: 1785

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2. Модель в дифференциально-алгебраической форме (полуявная форма)

имеет вид

	X(0) X	0	, t [0,t		],
X F(X,t),	X(0) X		, t [0,t		],
				K

G(X,Y) 0,

где Y (y1		, y2 ,..., ym )-(m 1)	- вектор алгебраических переменных,
G(X,Y)-(m 1) -вектор-функция.
3. Модель в д фференц ально-алгебраической форме (неявная форма)
определяет с стема уравнений
компонентными

G(X, X,Y,t) 0, X(0) X 0, Y(0)				Y0,	t [0,tK ],
Сгде G -((n m) 1)-вектор-функция.
Рассмотренные математические модели вида строят на основе ком-
[1,2].	объекта
понентных		тополог ческих		уравнений объекта проектирования.
Уравнен я,		оп сывающ е	состояния		элементов объекта, называют
		уравнениями,		а уравнения, задающие взаимосвязи
элементов		, — топологическими. Таким образом, математическая
модель		с сосредоточенными параметрами представляет собой
		А

совокупность компонентных и топологических уравнений этого объекта

Математическими моделями о ъектов с распределенными параметрами, используемыми в САПР, являются, в основном, краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП). Фазовыми переменными в этих уравнениях могут быть температура (если речь идет о задаче теплопроводности, например), величина механического напряжения (в задаче анализа на прочность) и т.д. Различают

стационарные и нестационарные				краевые задачи для ДУЧП.	В
				И
стационарной краевой задаче решение не зависит от времени. В качестве
независимых переменных в такойДзадаче чаще всего используют
пространственные переменные x, у,		z.. В нестационарной краевой задаче
решение меняется во времени. В качестве независимых переменных в
данном случае используются пространственные переменные x, у, z					и
время t [1,2].
Как в стационарной, так и в нестационарной краевых задачах для ДУЧП
должны быть заданы граничные условия — значения фазовых переменных
и (или) их некоторых функций на границе моделируемого объекта.
Различают граничные условия первого, второго и третьего рода [1,2].
Граничные условия первого рода {условия Дирихле) — это значения
фазовых переменных V, заданных на границе области V(Г) = VГ.
Граничные условия второго рода (условия Неймана) имеют вид
k	dV	\|	Г	q,
	dn

где к и q — как правило, константы; я — нормаль к поверхности объекта.

Граничные условия третьего рода представляют собой, так

называемые уравнения баланса вида	dV		0.
	f	,V

	dn
В нестационарных задачах кроме краевых условий должны быть

заданы начальные условия — значения фазовых переменных и (или) их
некоторых функций внутри объекта в начальный момент времени:
С	V(0) =V0.

Компонентные и топологические уравнения объектов различной физической пр роды отражают различные физические законы, но могут иметь од наковый формальный вид, т.е. быть аналогичными. Наличие

топологическ е уравнен я оказываются инвариантными к предметной

такихсостоящиханалог й пр водит к тому, что многие компонентные и

области	с	равным успехом могут быть	использованы при
математ ческом		модел ровании не только механических, но и
	бА		тепловых объектов.
электрическ х,		г дравл ческих, пневматических и

Указанное ед нство математических моделей особенно удобно при

анализе объектов, из физических разнородных элементов.

Компонентное уравнение i-го элемента исследуемого объекта имеет общий в д [1,2]:

Fi (Vi,Vi,t) 0,

где Vi - вектор фазовых переменных данного элемента; Fi -вектор- функция соответствующей размерностиД.

Топологическое уравнение объекта можно представить в виде:

T(V) 0,

где V {Vi} - вектор фазовых переменных объекта; Т - вектор-функция. Различают фазовые переменные двух типов -Ифазовые переменные типа

потенциала (например, электрическое напряжение, скорость в механической поступательной системе) и типа потока (например, электрический ток, сила, действующая на тело, в механической системе). Каждое из компонентных уравнений описывает связи между разнотипными фазовыми переменными, относящимися к данному компоненту. Например, второй закон Ньютона описывает связь между силами, действующими на тело, и приобретаемым им ускорением [1,2].

Топологическое уравнение определяет связи между однотипными фазовыми переменными в разных элементах объекта. Например, принцип Даламбера для механической поступательной системы требует, чтобы сумма всех сил, действующих на тело, с учетом инерциальных сил была равна нулю [1,2].

Математические модели объектов с сосредоточенными параметрами удобно представлять в графической форме в форме эквивалентных, схем,

которые часто используются в качестве входного языка в САЕ-системах. Совокупность компонентных и топологических уравнений представляет собой математическую модель объекта проектирования в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В явном виде математическая модель объекта проектирования в форме системы ОДУ и (или) системы линейных, нелинейных алгебраических уравнений может быть решена с использованием численных методов решения систем линейных, нелинейных, дифференциальных уравнений, а также с помощью методов оптимизации.

3. ОПТИМИЗАЦИЯ В СТРУКТУРЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

С	ОБЕСПЕЧЕНИЯ САПР

В процессе проект рования решаются задачи структурного и
параметр ческого с нтеза о ъекта проектирования. Если в результате
анализа обнаруж вается, что проектное решение в некотором смысле
является неудовлетвор тельным, то существует возможность улучшить
его,решениювозврат вш сь к		задач структурного и параметрического
синтеза. Анал з, так м о разом, позволяет получить информацию,
необходимую для выполнения процедур синтеза в итерационном процессе
проектирования [1].

ПроектированиебАначинают со структурного синтеза, результатом которого являются принципиальные решения, например облик летательного аппарата. Далее выполняют процедуры параметрического синтеза, т.е. тем или иным образом определяют параметры элементов проектируемого объекта, их геометрические размеры, материал и т.д. Как правило, после завершения процедур структурного и параметрического синтеза принятые проектные решения не признаются окончательными, но

делается попытка улучшить их путем структурной и (или)
параметрической оптимизации. Ставится задача поиска такой структуры и
	Д
(или) значений параметров объекта проектирования, которые доставляют
экстремальные значения одному или нескольким критериям
оптимальности объекта [1,2].
Число оптимизируемых параметров может меняться в широких
пределах. Следует избегать большого числа этих параметров (более
	И

нескольких десятков), поскольку это, во-первых, делает задачу

оптимизации сложной и ресурсоемкой, а во-вторых, затрудняет анализ результатов оптимизации. Оптимизируемые параметры могут меняться непрерывно или дискретно. Как правило, первая ситуация имеет место при параметрической оптимизации, а вторая - при структурной [1,2].

Задача оптимизации состоит из следующих компонентов:

-Критерий оптимальности (целевая функция).

-Множество допустимых решений.

Критерий оптимальности (целевая функция) – это числовая функция одного или нескольких переменных проектирования, которая позволяет сравнивать множество альтернативных решений и выбирать наилучшее.

Множество допустимых решений (множество допустимых значений параметров) – это область, определяемая всеми возможными значениями параметров проектирования. Как правило, определяется линейными и (или) нелинейными равенствами и(или) неравенствами. Если целевая функция содержит один проектный параметр, то рассматривается задача одномерной оптимизации. Если целевая функция содержит более одного

проектного параметра, то рассматривается задача многомерной оптимизац . Если задача оптимизации содержит более одной целевой

функции, то называется многокритериальной. Задача оптимизации может
представлять собой как задачу минимизации, так и задачу максимизации
С
опт мальности.
Виды задач опт м зац и:
1. Задача	оптимизации

критериевF(X) opt(min,max)

где F(X) – целевая функция, Х – вектор внутренних (проект) параметров, D – область допустимых значений, Rn – n –мерное пространство

X D

D Rn
	безусловной
	А

действительных чисел.	Д
2. Задача условной оптимизации
F(X) opt(min,max)		И
X D

D {X \| (X) 0, (X) 0} Rn
D {X \| (X) 0, (X) 0} Rn

(X) 0, (X) 0 функции ограничения

Задачу условной оптимизации также называют задачей математического программирования. В классификации задач математического программирования наиболее исследованы следующие задачи:

- Задача линейного программирования.

Целевая функция F(X) и ограничения

(X) 0, (X) 0 линейные функции

-Задача целочисленного линейного программирования.

Целевая функция F(X) и ограничения

(X) 0, (X) 0 линейные функции

D {X | (X) 0, (X) 0} Zn

	Zn n мерное пространство целых чисел
С
	- Задача нелинейного программирования.
	Целевая функц я F(X) и ограничения
	(X) 0, (X) 0 нелинейные функции
	призадачирешен опт мизации;
	Выделяют следующ е этапы решения задачи оптимизации [1,2]:
•	определен е варь руемых параметров (параметров, подлежащих
	оптимизац );
•	установлен е области допустимых значений варьируемых параметров,
	т.е. формал зац я огран чений, налагаемых на параметры;
•	выбор	оценка вл ян я внешних факторов, которые необходимо учесть
•	выбор кр тер ев опт мальности;
•	выбор математ ческого метода решения задачи оптимизации;
•	проведение расчетов и оценка полученных решений по выбранным
	критериям;
•	принятие окончательного решения с учетом неопределенностей в
	постановке задачи.			Д

	Критерий оптимальности можно определить как характерный
показатель объектабАпроектирования, по значению которого оценивается
оптимальность найденного проектного решения. Как правило, не удается
выбрать один критерий, который бы формализовал полноту
представлений			проектировщика		об	оптимальности	объекта
						И
проектирования. Однако, следует избегать использование большого числа
критериев, поскольку это существенно усложняет задачу принятия
решения.
	В простейшем случае задачу многокритериальной оптимизации (задачу
МКО) сводят к задаче двухкритериальной оптимизации, критериями в
которой являются «цена» и «качество». Это позволяет в доступной для
анализа		форме	учесть и экономические			(цена), и производственно-

технические (качество продукции) требования. Часто задачу МКО различными методами сводят к задаче однокритериальной оптимизации, что требует введения существенных допущений, но облегчает принятие окончательного решения [1].

Задачи однокритериальной оптимизации иногда называют задачами скалярной, а многокритериальной — векторной оптимизации. При размерности вектора варьируемых параметров больше единицы критерий

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Румунський' напрям української дипломатії в 1917-1920 рр.: новітній етап історіографічних досліджень
[БИЛЕТЫ] Спланхнология
0-Технология доступа к данным ADO.NET
01. Основные понятия системного анализа и теории систем
04. Антигены
08 инт (Токсикология как наука)
1
1 лекция иос