Материал: 1749

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

интервалов Xi ,Yk , которые будем называть представителями.

В результате вместо предыдущей таблицы получим следующую.

Y	15	20	25	30	35	40	ny
X
15	4	1					5
25		6	4				10
35			2	50	2		54
45			1	9	7		17
55				4	3	7	14
nx	4	7	7	63	12	7	100

Рассмотрим корреляционную таблицу в общем виде, которая связывает переменные величины.

Y	y1	y2	y3	…	yr	nxi
X
x1	n11	n12	n13	…	n1r	nx1
x2	n21	n22	n23	…	n2r	nx2
x3	n31	n32	n33	…	n3r	nx3
…	…	…	…	…	…	…
xS	nS1	nS 2	nS 3	…	nS r	nxS
ny j	ny1	ny2	ny3	…	nyr	n

Числа nx1, nx2 ,…, nxS характеризуют частоты значений переменной

X во всей совокупности, а сумма их даёт её объём n.

Частота nxi i 1,2, ,s является суммой частот, соответствующих значению Xi при всевозможных значениях y.

Аналогично, числа ny1, ny2 ,…, nyr представляют частоты значений

переменной Y во всей совокупности, а их сумма тоже даёт объём n. Частота ny j j 1,2, ,r является суммой частот, соответствующих значе-

нию Yj при различных значениях x.

Таким образом, сумма всех частот корреляционной таблицы определяет объём выборки n. Объём выборки можно записать в таких различных формах:

S	r	S	r
n ni j		nxi	ny j .
i 1	j 1	i 1	j 1

Общая средняя арифметическая переменной X в наших обозначениях запишется так:

	S	S
	xinxi	xinxi
	i 1	i 1	.
X	i 1	i 1
X	S	n
	nxi	n
	nxi
	i 1

Аналогично, общая средняя переменной Y будет равна:

	r	r
	yjny j	yjny j
	j 1	j 1	.
Y	j 1	j 1
Y	r	n
	ny j	n
	ny j
	j 1

Корреляционная таблица в общем виде разбита на s групп по числу значений переменной X . В группы объединены те элементы совокупности, у которых переменная X принимает одно и то же значение. В первой группе содержатся элементы, у которых переменная X принимает значение x1, а y– любое из возможных и т.д.

Вычислим средние арифметические переменной Y элементов, содержащихся в отдельных группах. Это будут групповые средние перемен-

					r
		i i 1,2, s . Тогда			yjni j
ной y. Обозначим их через	y		y	i	j 1	.
ной y. Обозначим их через	y		y	i	nxi	.
					nxi

Таким образом, каждому значению xi переменной X соответствует групповая средняя yi . Поместим в таблицу пары соответствующих значений переменной X и групповых средних переменной Y .

xi	Соответствующие
				частоты nxi
	групповые средние yi
	групповые средние yi
x1	y		1	nx1
x2	y	2		nx2
…	…			…
xS	y	S		nxS
				n

Далее в прямоугольной системе координат XOY строим точки

xi , yi i 1,2, s .

Теоретический анализ распределения, выраженного таблицей (стр.26), и дальнейшее расположения точек xi , yi на графике иногда даёт возможность установить вид функции yi f x , характеризующей форму связи между X и групповыми средними переменной Y .

Уравнение yi f x или yx f x называется уравнением регрес-

сии Y на X . Аналогично, если каждому значению yj переменной Y соот-

ветствует групповая средняя xj , то получим уравнение регрессии X на Y : xj y .

Итак, корреляционная зависимость задаётся уравнением регрессии.

Две основные задачи теории корреляции:

1)найти вид связи в виде уравнения;

2)установить силу (тесноту) связи между X,Y .

Наиболее распространённой формой корреляционной связи является линейная. Изучим виды такой связи.

Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:

Y y yx x x ,

то есть прямая проходит через точки с координатами x, y . Это средняя точка корреляционного графика.

Здесь y x коэффициент регрессии Y на X , который равен:

ni j

y x

i 1

j 1

n x2

или

y x

ni j

2 nxi

где

i 1

j 1

i 1

Уравнение прямой регрессии X на Y можно записать в виде

X x xy y y ,

коэффициент x y определяется равенством

S r

xi yjni j n x y

x y		i 1	j 1	,
			r

y2j ny j n y2

j 1

или

ni j

x y

i 1

j 1

n y2

где y2

i 1

, тогда x y можно записать в виде

y x

После выбора формы корреляционной связи, то есть определения вида функций yi f x или xj y , возникает проблема установления

тесноты связи, то есть оценка степени рассеяния одной переменной для разных значений другой. Для этого введём понятие коэффициента корреляции.

Коэффициентом корреляции переменных величин X и Y , связь между которыми задана корреляционной таблицей, называется среднее геометрическое их коэффициентов регрессии, имеющее знак последних.

r	y x x y ,	0, знак , если коэф-
причём выбирают знак (+), если y x 0 и x y

фициенты регрессии отрицательны.

Коэффициент корреляции является мерой тесноты линейной связи X и Y . Когда он равен нулю, X и Y не могут находиться в линейной корреляционной зависимости. Степень их линейной связанности растёт при приближении r к 1 . Если r 1, линейная связь является функциональной, знак r указывает на вид связи: прямая или обратная.

Оценка тесноты линейной связи (шкала Чаддока)

Значение	0-0,1		0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7		0,7-0,9	0,9-0,99	1
Теснота	Нет		Сла-	Уме-	Замет-		Высо-	Очень	Функ-
линейной			бая	ренная	ная		кая	высокая	ция зав.
связи
При r 0		связь прямая, то есть с ростом X растет Y .
При r 0		связь обратная, то есть с ростом X убывает Y .
Пример 2. В результате выборочных наблюдений получены соответ-
ственные значения переменных величин X						и Y для некоторых n объек-
тов.

а) Найти зависимость между величинами X и Y виде уравнений

регрессии.

б) Построить графически наблюдаемые выборочные значения признаков и прямую регрессию.

в) Оценить тесноту линейной связи между X и Y по данным выбор-

ки.

Запишем таблицу, беря в качестве представителя середину интервала.

X		Y	2,95																			3,45																									3,95												4,45			4,95		5,45				Итого
X
		2,3																																																												6		2				8
		2,9																																																									1			8		3				12
		3,5																																													2												13			1						16
		4,1																											1																		6												20									27
		4,7							1																				1																		16												3									21
		5,3							3																				3																		4																					10
		5,9							3																				3																																							6
Итого									7																				8																		28												37			15		5				100
1)		Вычисляем групповые средние:
x		2,3;			y										4,95									5,45									;																			y			1				4,95 6 5,45 2				5,075.
					y										4,95									5,45																																			4,95 6 5,45 2

1				ni														6				2																																							8
x2		2,9;				y										4,45										4,95													5,45						;						y			2						4,45 1 4,95 8 5,45 3						5,03 3 .
						y										4,45										4,95													5,45																					4,45 1 4,95 8 5,45 3
					ni																																		3
					ni													1				8																	3																						12
x3		3,5;			y									3,95							4,45																	4,95						;								y				3				3,95 2 4,45 13 4,95 1							4,42.
					y									3,95							4,45																	4,95																						3,95 2 4,45 13 4,95 1

				ni														2				13												1																											16
x4		4,1;			y								3,45								3,95																4,45					;									y			4					3,45 1 3,95 6 4,45 20								4,3.
					y								3,45								3,95																4,45																						3,45 1 3,95 6 4,45 20

				ni							1											6									20																														27
				ni							1											6									20																														27
x5		4,7;			y							2,95								3,45															3,95											4,45		;		y			5					2,95 3,45 3,95 16 4,45 3											3,95.
					y							2,95								3,45															3,95											4,45												2,95 3,45 3,95 16 4,45 3
			ni
			ni							1												1								16											3																				21
x6		5,3;			y									2,95									3,45															3,95					;												6					2,95 3 3,45 3 3,95 4						3,5.
					y									2,95									3,45															3,95														y								2,95 3 3,45 3 3,95 4
				ni																																																y
				ni														3				3												4																											10
x7		5,9;				y											2,95										3,45									;															y			7					2,95 3 3,45 3				3,2.
						y											2,95										3,45																																2,95 3 3,45 3
					ni																																																								8
					ni													3							3																																				8
Точки xi ,						y		i					на рис.																		3 будем обозначать " ".

y	1	2,95;							x										4,7									5,3				5,9								;									x								4,7 1 5,3 3 5,9 3								5,47.
									x										4,7									5,3				5,9																									4,7 1 5,3 3 5,9 3

							nj											1									3			3																	1														7
							nj											1									3			3																															7

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте

Y	15	20	25	30	35	40	ny
X
15	4	1					5
25		6	4				10
35			2	50	2		54
45			1	9	7		17
55				4	3	7	14
nx	4	7	7	63	12	7	100

Y	15	20	25	30	35	40	ny
X
15	4	1					5
25		6	4				10
35			2	50	2		54
45			1	9	7		17
55				4	3	7	14
nx	4	7	7	63	12	7	100

Y	15	20	25	30	35	40	ny
X
15	4	1					5
25		6	4				10
35			2	50	2		54
45			1	9	7		17
55				4	3	7	14
nx	4	7	7	63	12	7	100