Материал: 1749

5

Функция p(x), связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями, представляет собой закон распределения дискретной случайной величины или ряд распределения. Этот закон задается таблицей, где pi =p(X=xi):

Дискретная случайная величина принимает каждое свое значение с ненулевой вероятностью, а значения, которые она принимает с нулевой вероятностью, не учитываются.

Закон распределения полностью описывает дискретную случайную величину.

Рассмотрим основные числовые характеристики дискретной случайной величины математическое ожидание и дисперсию.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятность:

M(X) xk pk .

k 1

В этом случае предполагается, что ряд xk pk сходится абсолютно.

k 1

Математическое ожидание имеет размерность случайной величины. В качестве меры рассеяния случайной величины X около ее математического ожидания берут центральный момент второго порядка – диспер-

сию:

D(X) (xk mx )2 pk

k 1

или D(X) M(X 2 ) M 2 (X).

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.

Для характеристики рассеяния случайной величины рассматриваем

среднее квадратическое отклонение (X) D(X) , имеющее ту же

размерность, что и случайная величина X.

Рассмотрим наиболее распространенные законы распределения дискретных случайных величин и их числовые характеристики.

1. Биномиальный закон

Случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону с параметрами n и p 0, если X принимает значения 0, 1, 2, …, n

и p(X k) Cnk pk qn k .

Закон распределения имеет вид:

руем это равенство по x, получим n(x y)n kCnk xk 1 yn k . Умножим на x полученное равенство и вернемся к прежним обозначениям, получим:

nx(x y)n kCnk xk yn k или p(p q)n kCnk xk yn k .

Так как p+q = 1, а M(X) kCnk xk yn k , то окончательно M(X) = np.

k 0

Дисперсия D(X) = npq.

2. Закон Пуассона

Случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона с параметром a 0, если X может принимать значения 0,1,2,…, k, …,:

P(X k) e a ak . k!

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X в этом случае будут:

D(X) M(X 2 ) M 2 (X) a2 a a2 a.

Таким образом, для распределения Пуассона математическое ожидание и дисперсия равны параметру распределения.

2.2. Непрерывные случайные величины и их характеристики

Случайная величина X называется случайной величиной непрерывного типа, если: а) значения X заполняют промежуток или несколько промежутков на оси Ox; б) существует неотрицательная функция f(x) 0, называемая плотностью распределения вероятностей, что вероятность принадлежности случайной величины X любому промежутку [a, b] равна определенному интегралу от f(x) по этому промежутку:

9

Получили, что D(X) 2 , т.е. дисперсия нормального распределения случайной величины равна квадрату второго параметра.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X будет

D(X) 2 .

При изменении M(X) a график плотности нормально распределенной случайной величины будет смещаться вдоль оси Ox, а вид графика не изменится.

При изменении изменяется вид графика: чем , тем более график имеет форму «всплеска»; при больших значениях кривая имеет пологую форму.

Правило трех сигм. Если в данных исследованиях вероятностями, меньшими чем (1 – 0,9973) 0,003, можно пренебречь, то это означает, что все практически возможные значения нормально распределенной случайной величины X заключены в промежутке (a 3 ; a+3 ).

3. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Функцией распределения случайной величины X любого типа называется вероятность события X x, где x – любое число. Функция распределения называется иначе интегральным законом распределения и обозначается F(x):

F(x)=P( X x).

С помощью введения функции распределения можно объединить рассмотрение случайной величины дискретного и непрерывного типов с плотностью f(x):

xk pk для дискретногослучая;

xk x

F(x) x

f (t)dt длянепрерывногослучая.

Функция распределения любой случайной величины является неотрицательной, неубывающей функцией аргумента x и изменяется от 0 до 1 при изменении x от ( ) до (+ ).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет