Материал: 1700

21

3. Из уравнений Максвелла в дифференциальной форме и

5.Световое излучение имеет длину волны 500 нм. Найдите волновое число данной волны при распространении в вакууме и в немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью r 4 .

6.Плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси z и имеет в некоторый момент времени ориентацию вектора напряженности магнитного поля вдоль оси x . Нарисуйте взаимную ориентацию волнового вектора и остальных векторов в волне, в данный момент времени, в декартовой системе координат.

7.Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в среде с относительными проницаемостями r 8 и r 2 , имеет амплитуду

напряженности магнитного поля Hm 1 А/м. Определите амплитуду напряженности электрического поля для данной волны.

8.Плоская монохроматическая электромагнитная волна,

распространяющаяся вдоль оси z, имеет равные по амплитуде, но противофазные проекции вектора электрической напряженности на оси x и y. Определите поляризацию данной электромагнитной волны; ответ поясните.

9. Плоская монохроматическая электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль оси z, имеет равные по амплитуде и сдвинутые по фазе на - /2 проекции вектора электрической напряженности на оси x и y. Определите вид поляризации данной волны; ответ поясните.

распространяющейся в вакууме, найдите направление и модуль вектора Пойнтинга при Em 100 В/м.

11. Для световой волны, распространяющейся вдоль оси x в непроводящей среде с параметрами 4 0 и 0 и имеющей векторную

амплитуду Em jEm , гдеEm 10 В/м, определите модуль и направление для векторной амплитуды напряженности магнитного поля.

22

13.2 Описание квантовых ансамблей и процессов релаксации

13.2.1 Примеры решения задач по теме «Описание квантовых ансамблей и процессов релаксации»

Решение. Из принципа детального равновесия следует соотношение

nk kn exp En Ek ,

kT

где разность энергий частиц на уровнях можно выразить из постулата Бора: Ek En kn . Для частоты перехода 31 , заданной в условиях

задачи, отсюда получаем 13 0,99 с-1.

Ответ: 13 0,99 с-1.

Задача 2. Для термостатированного ансамбля микрочастиц, имеющего два энергетических уровня и находящегося в состоянии релаксации, выведите уравнение, описывающее эволюцию диагонального элемента матрицы плотности 22 (t) .

Решение. Из уравнения движения для диагональных элементов матрицы плотности получаем

d 22 12 11 21 22 .

dt

В качестве второго уравнения, необходимое для получения замкнутой системы, для двухуровневого случая следует использовать следующее общее соотношение: 11 22 1. Выражая из последнего уравнения 11 и

подставляя его в первое уравнение, окончательно получаем

d 22 12 21 22 12 .

dt

Ответ:

d 22 12 21 22 12 .

dt

13.2.2 Варианты задач для самоподготовки

1. Для трехуровнего ансамбля частиц, находящегося в стационарном состоянии, населенности уровней составили N1 5 1020 м-3, N2 3 1020 м-3

и N3 2 1020 м-3. Найдите все элементы матрицы плотности данного ансамбля.

23

2. В двухуровневой системе частиц с частотой перехода между уровнями 21 2kT / вероятность теплового перехода равна 12 2 с-1.

Найдите вероятность теплового перехода 21 .

3.Для термостатированного ансамбля, находящегося в состоянии релаксации, запишите уравнение, описывающее эволюцию недиагонального элемента 12 (t) и найдите его общее решение.

4.Для термостатированного ансамбля микрочастиц, имеющего два энергетических уровня и находящегося в состоянии релаксации, выведите уравнение, описывающее эволюцию диагонального элемента матрицы

плотности 11(t) .

5. В трехуровневой системе частиц с эквидистантным спектром частота перехода между соседними уровнями равна mn kT / .

Измереннные значения вероятностей тепловых переходов для одной частицы в единицу времени составляют 12 1 с-1 и 31 10 с-1. Найдите

вероятности переходов 21 и 13 с использованием принципа детального равновесия.

6. Термостатированный ансамбль частиц, имеющих три энергетических уровня, находится в состоянии релаксации. Используя общие уравнения для матрицы плотности и условие самосопряженности ее

счет взаимодействия с термостатом. Найдите закон, по которому уменьшается населенность второго уровня N2 (t) , если при t 0

населенности уровней были одинаковы и составляли

N1(0) N2 (0) 0.5 1022 м-3. Вероятность теплового перехода 21 10 с-1.

8. Термостатированный ансамбль парамагнитных ионов Cr3+, внедренных в решетку Al2O3, имеет 4 эквидистантных уровня и находится в состоянии термодинамического равновесия. Найдите элементы матрицы плотности данного ансамбля, если частота перехода между соседними

уровнями равна mn kT /(100 ) , m n 1.

9. Для трехуровневой системы частиц с эквидистантным спектром и частотой перехода между соседними уровнями 32 21 kT / ,

находящейся в состоянии термодинамического равновесия, найдите населенности первого и второго уровней, если на третьем уровне находится 1018 частиц.

10. В трехуровневой системе, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, общая концентрация частиц имеет значение N0 = 2,95×1022 м-3, а частоты переходов между уровнями

24

составляют 21 0,02kT / и 31 0,03kT / . Найдите концентрации частиц, находящихся на каждом из трех уровней.

13.3 Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом

13.3.1 Примеры решения задач по теме «Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом»

Задача 1. Запишите балансное уравнение для числа частиц на уровне 1 трехуровневой системы с учетом воздействующего на нее электромагнитного поля, имеющего частоту 21 , и всех других возможных

переходов.

Решение. Изобразим энергетическую диаграмму и схему возможных переходов на рисунке, обозначая, например, тепловые переходы черными стрелками, спонтанные – красными, и индуцированные – синими. Из рисунка видно, что изменение числа частиц на уровне 1 со временем характеризуется восемью процессами, из которых 5 дают положительный вклад и ещё 3 – отрицательный вклад в общий баланс.

E3

E2

W12= W21

E1

В результате уравнение баланса для числа частиц на уровне 1 может быть получено из общего уравнения

в следующем виде:

dNdt1 ( 21N2 12 N1) ( 31N3 13 N1) A21N2 A31N3 W12 N2 N1 .

Ответ:

dNdt1 ( 21N2 12 N1) ( 31N3 13 N1) A21N2 A31N3 W12 N2 N1 .

25

13.3.2 Варианты задач для самоподготовки

1. Для микрочастицы, имеющей два энергетических уровня, на каждом из которых она описывается четной волновой функцией, запишите матрицу оператора электродипольного момента.

2. В неравновесной четырехуровневой системе с энергиями частиц

на уровнях E1 = 0 эВ, E2 = 0,1 эВ, E3 = 1,1 эВ и E4 = 1,2 эВ их населенности составляют N1 = 1×1022 м-3, N2 = 0,03×1022 м-3, N3 = 0,5×1022 м-3 и N4 = 1×1016

м-3. Найдите длину волны светового излучения, которое будет усиливаться за счет индуцированных переходов между уровнями данной системы частиц.

3. Запишите балансное уравнение для числа частиц на верхнем уровне 3 трехуровневой системы с учетом воздействующего на нее электромагнитного поля, имеющего частоту 32 , и всех других возможных

переходов.

4.Выведите систему уравнений баланса, соответствующую термостатированному ансамблю частиц с тремя энергетическими уровнями. Примите, что поле накачки индуцирует переходы между

уровнями 1 и 3 с вероятностью W13 для одной частицы в единицу времени; учтите спонтанные переходы.

5.Для выведенной в задаче 4 системы балансных уравнений получите выражение для населенности основного уровня в стационарном состоянии. Из полученного выражения найдите формулу для населенности основного уровня при W13 .

6.Запишите балансное уравнение для числа частиц на уровне 2 трехуровневой системы с учетом воздействующего на нее электромагнитного поля, имеющего частоту 21 , и всех других возможных

переходов.

7. Из экспериментов по измерению частотной зависимости поглощения некоторым веществом получено, что она описывается кривой Лоренца, причем поглощаемая мощность на резонансной частоте составляет 10 мкВт, а на частоте, отличающейся от резонансной на 159 МГц, уменьшается до 5 мкВт. Определите время релаксации исследуемого вещества, соответствующее наблюдаемому резонансному переходу.

13.4 Оптические резонаторы

13.4.1 Примеры решения задач по теме «Оптические резонаторы»

Задача 1. Для оптического резонатора Фабри-Перо с расстоянием между зеркалами 0,5 м нарисуйте спектр собственных частот для семи генерируемых продольных мод и найдите его общую ширину в Гц.