Материал: 1547

колебаний достигает наибольшего значения, называется резонансом.

Рис. 3. Резонансная кривая

Можно показать, что частота, при которой наступает резонанс, связана с частотой собственных колебаний системы и коэффициентом затухания соотношением

4.Сложение перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

Рассмотрим систему, которая может совершать колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Траектории, которые может иметь тело при этом, получили название фигур Лиссажу. Их вид зависит от соотношения частот и разности фаз колебаний. При этом выполняется несколько важных закономерностей, которые широко используются для настройки и анализа колебательных систем:

а) отношение количества пересечений оси Х к количеству пересечений оси Y равно отношению частот колебаний;

б) вид фигуры Лиссажу зависит от разности фаз колебаний.

5. Метод решения задач механики с использованием вычислительной техники

Любую механическую задачу можно свести к решению так называемых дифференциальных уравнений (или систем дифференциальных уравнений), частным случаем которых являются

10

уравнения Ньютона, которые описывают движение под действием различных сил, зависящих в общем случае от положения точки в пространстве, ее скорости и момента времени:

a F(x, ,t)/m.

Решение данных уравнений аналитическими способами в общем случае является очень сложной, часто просто невыполнимой задачей. Для получения решений в настоящее время разработано большое количество численных способов, основанных на использовании вычислительной техники. Простейшим из них, который использован в данной лабораторной работе, является метод, разработанный еще самим Ньютоном. Он заключается в том, что соответствующие производные заменяются так называемыми конечно-разностными соотношениями, т.е. например:

x(t1) x(t2 ) и a (t1) (t2 ).

Тогда в качестве решения задачи можно предложить следующий алгоритм:

1. Во-первых, вычисляется значение ускорения в данный момент времени с использованием известной силы:

aF(x, ,t)/m.

2.Во-вторых, вычисляется значение скорости с использованием конечно-разностных соотношений:

x(t2 ) x(t1 ) a (t2 t1 ).

3. В-третьих, вычисляется новая координата точки с использованием конечно-разностных соотношений:

x(t1 ) x(t1 ) υ(t2 t1 ).

4. В-четвертых, вычисляется новое значение времени: t3 t2 t.

5. И наконец, возвращаемся к пункту 1 и получаем новое значение координаты и т.д.

В качестве дифференциального уравнения колебательного движения используется уравнение вынужденных колебаний.

Задание к лабораторной работе

Для работы с программой в главном меню (рис. 4) выберите необходимый тип колебательного движения.

11

Рис.4. Главное меню

Рис.5. Рабочее окно программы

12

Упражнение 1. Гармонические колебания

1.Введите значения коэффициента упругости пружины и массы подвешенного тела. Перечертите полученный график колебаний с монитора или распечатайте его с помощью принтера (рис. 5).

2.Выберите произвольно некоторое число колебаний и определите время, за которое они произошли. Рассчитайте период колебаний по формуле (2). Сравните его с теоретическим периодом колебаний пружинного маятника, подсчитанным по формуле (1).

3.Проведите измерения периода несколько раз, занесите результаты измерений в табл. 1.

4. Сделайте вывод, от чего зависит период и частота гармонических колебаний?

Упражнение 2. Затухающие колебания

1.Введите значения коэффициента упругости пружины, массы подвешенного тела и коэффициента упругости среды. Перечертите полученный график колебаний с монитора или распечатайте его с помощью принтера.

2.Измерьте амплитуду колебаний при двух моментах времени А1

иА2. Определите коэффициент затухания ар по формуле (6). Сравните его с коэффициентом затухания ат, рассчитанным по формуле (3).

3.Определите период колебаний Тр по методике, изложенной в первом упражнении, сравните с периодом колебаний Тm, подсчитанным по формуле (4).

13

4.Определите расчетный логарифмический декремент λ затухания по формуле (5).

5.Проведите измерения несколько раз, занесите результаты измерений в табл. 2.

Таблица 2

Результаты измерений

6. Сделайте вывод о совпадении (или несовпадении) расчетных и теоретических значений.

Упражнение 3. Вынужденные колебания

1.Введите параметры установки, а также амплитуду и частоту вынуждающей силы. Перечертите полученный график колебаний с монитора или распечатайте его с помощью принтера.

2.Проведите исследования зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

Данные занесите в табл. 3. Используя данные таблицы, постройте резонансную кривую.

Таблица 3

Результаты измерений

ν, Гц

А, м

3.Определите по графику резонансную частоту, подсчитайте её значение по формуле (8), сравните полученные расчетные и теоретические значения ν.

4.Измерьте резонансную амплитуду вынужденных колебаний Ар. Сравните ее с амплитудой Ат, подсчитанной по формуле (7).

14