Материал: 1547

9.Сложение цветов. В программе на основе системы RGB производится выбор желаемого цвета, имеется возможность увидеть оттенки цвета, дополнительный цвет, смешать один цвет с другим. Можно пересчитать координаты из системы RGB в систему XYZ для дальнейшего расчета по графику цветности.

10.Определение коэффициента внутреннего трения. Программа моделирует движение шарика в вязкой среде. Если движение шарика в жидкости равномерное, то сила сопротивления, обусловленная внутренним трением жидкости и действующая на шарик, определяется по закону Стокса. Из равенства сил, действующих на шарик, определяется коэффициент внутреннего трения вязкой среды.

5

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 (20К, 21 К)

Колебательное движение. Методы решения задач механики

Цели работы: исследовать основные типы колебательного движения с использованием программы, моделирующей колебания пружинного маятника. Убедиться в корректности использования данного метода в случае одно - и двухмерных колебаний.

Основные теоретические сведения

1 .Гармонические колебания пружинного маятника

Простейшим типом колебательного движения являются гармонические колебания, т.е. такие, которые происходят по закону синуса или косинуса.

Одной из важнейших механических систем, способных совершать подобное движение, является пружинный маятник. Он представляет собой некоторый груз массой т, закрепленный на упругой пружине, с коэффициентом жесткости k. Колебания совершаются под действием упругих сил, поэтому по закону Ньютона

а = F/m = - kх/т,

но так как ускорение – вторая производная смещения по времени а = x, следовательно,

Решением данного дифференциального уравнения является выражение

x Acos( 0t 0),

где х – смещение груза от положения равновесия; А – максимальное значение колеблющейся величины (амплитуда);

0t 0 – фаза колебания; 0 – начальная фаза колебания;

Используя связь между периодом колебаний и циклической частотой, окончательно для периода колебаний пружинного маятника получаем

6

С другой стороны, период можно найти по приведенному графику колебаний. Для этого по шкале времени необходимо определить время t, за которое происходит несколько колебаний. Так как период определяет время одного колебания, то он вычисляется по формуле

где N – число колебаний.

2. Свободные колебания маятника

Свободными называются колебания, которые происходят за счет энергии, полученной телом в момент начала колебания. В реальных условиях эта энергия расходуется на преодоление сил сопротивления, что приводит к постепенному уменьшению амплитуды, т.е. колебания становятся затухающими (рис.1). В большинстве случаев силы сопротивления пропорциональны скорости колеблющегося объекта

x:

Рис.1. Свободные колебания

Fтр rx,

где r – коэффициент сопротивления среды.

Дифференциальное уравнение колебательного движения с учетом данной силы примет вид

x 2ax 02 x 0,

где α – коэффициент затухания колебаний, определяемый по формуле

Решение данного уравнения имеет вид

x A0e at cos( t 0 ),

где A(t) = A0e at – амплитуда затухающих колебаний, зависящая от времени;

02 a2 – циклическая частота затухающих колебаний.

Тогда период

Из полученных выражений видно, что коэффициент затухания определяет быстроту уменьшения амплитуды. Он является величиной, обратной промежутку времени, за которое амплитуда убывает в е раз.

Рис. 2. Виброграмма колебаний

Другим важным параметром затухающего колебания является логарифмический декремент затухания λ, равный логарифму отношения двух амплитуд, разделенных отрезком времени в один

Логарифмический декремент затухания – физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в е раз.

Для экспериментального определения коэффициента затухания необходимо определить амплитуды, соответствующие двум моментам времени t и t+t' (рис. 2). Тогда по определению коэффициента

8

затухания

Зная же коэффициент затухания и период колебаний, декремент затухания можно найти с помощью выражения (5).

3.Вынужденные колебания маятника

Вынужденными называются колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

F F0 cos t,

где F0 – амплитуда вынуждающей силы; Ω – ее частота.

В данном случае вид дифференциального уравнения будет следующий:

x 2 x 02x F0 cos t . m

Решение данного уравнения сводится к сумме решения однородного уравнения (решение уравнения свободных колебаний) xсв и частного решения, определяемого выражением для вынуждающей силы, хвн:

х = хсв + хвн .

Первое слагаемое с течением времени стремится к нулю, поэтому после установления вынужденных колебаний имеем

х = хвн = Авн cosΩt,

где Авн – амплитуда вынужденных колебаний, которая является сложной функцией нескольких переменных:

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы, при постоянстве всех других величин, представлена на рис. 3 и называется резонансной кривой. Циклическая частота вынуждающей силы Ωp, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, называется резонансной частотой, а явление, когда амплитуда вынужденных

9