Материал: 14 - презентация

3.Может ли точка 0 быть особой точкой указанных типов для данных функций:

а) полюсом для ( ) и полюсом для ( − 0) ( ).

Решение:

По определению полюса, ряд Лорана функции ( ) имеет конечную главную часть, т.е. содержит конечное число членов с отрицательной степенью ( − 0).

Ряд Лорана функции ( − 0) ( ) также содержит конечное число членов с отрицательной степенью ( − 0) или не содержит главной части вовсе.

Т.е. точка 0 может быть полюсом для ( − 0) ( ).

е) Может ли точка 0 быть устранимой особой точкой для ( ) и

полюсом для 1 ( )?

−0

Ответ: да.

ж) Может ли точка 0 быть устранимой особой точкой для ( ) и

существенно особой точкой для 1 ( )?

−0

Ответ: нет.

4.Пусть точка 0 является полюсом k-го порядка для функции( ). Указать тип особой точки 0 для функции:

а) ( − 0) ( ).

Решение.

Если = 1, т.е. точка 0 является простым полюсом для функции( ), то главная часть ряда Лорана для функции ( ) в

окрестности точки 0 содержит одно слагаемое −1 . Тогда ряд

− 0

Лорана функции ( − 0) ( ) не содержит главной части, т.е. точка 0 является устранимой особой точкой функции

( − 0) ( ).

Если ≠ 1, то точка 0 для функции ( − 0) ( ) является полюсом порядка ( − 1).

б) Пусть точка 0 является полюсом k-го порядка для функции( ). Указать тип особой точки 0 для функции ( − 0)3 ( ).

Ответ:

Если ≤ 3, то точка 0 является устранимой особой точкой функции ( − 0)3 ( ).

Если > 3, то точка 0 является полюсом порядка ( − 3).

в) Пусть точка 0 является полюсом k-го порядка для функции

− 0

Ответ:

Точка 0 является полюсом порядка ( + 1).