Материал: 14 - презентация
Теорема 7. Точка 0 |
является полюсом функции ( ), если главная часть |
|||||||||
разложения в ряд Лорана ( ) в окрестности точки |
0 содержит |
|||||||||
конечное |
|
|
|
число |
|
слагаемых, |
т.е. |
|||
( ) = |
− |
|
+. . . + |
−1 |
+ ∑∞ |
|
( − ) |
( ≠ 0), |
||
(− |
) |
− |
||||||||
|
|
|
=0 |
|
0 |
− |
||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||
наибольшая |
степень у |
разности |
( − 0), стоящей в |
знаменателях |
||||||
членов главной части ряда Лорана, равна порядку полюса. |
||||||||||
Теорема 8. Точка 0 |
является существенно особой точкой для функции |
|||||||||
( ), если главная часть разложения ( ) в ряд Лорана в окрестности z0 содержит бесконечно много членов.
В следующих примерах найти все особые точки данных функций и установить их тип.
Пример 1. ( ) = 1−−.
Особая точка ( ): 0 = 0, в этой точке функция не определена. Разложим( ) в окрестности точки 0 = 0, т.е. по степеням z в ряд Лорана:
|
|
1 |
|
z2 |
3 |
) |
z |
|
|||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
= |
[1 − (1 − + |
2! − |
|
n! |
+. . . ] = |
||||||
|
|
3! +. . . + −1 |
|
||||||||
= 1 − |
|
+ |
2 |
+. . . +(−1) |
z |
+. . . = ∑∞ |
(−1) |
z |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
2! 3! |
|
( +1)! |
=0 |
|
( +1)! |
|||||
|
|
|
||||||||
Это разложение не содержит главной части. Поэтому |
точка 0 = 0 |
|||||||||
является устранимой особой точкой. |
|
|
|
|
||||||
1−cosz
Пример 2. ( ) = 7 .
Особая точка ( ): 0 = 0. Используя разложение в ряд Тейлора для
функции cosz в окрестности точки 0 |
= 0, получим лорановское |
||||||||||||||||||
разложение функции ( ) в окрестности нуля: |
|||||||||||||||||||
|
( |
|
) |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
6 |
|
|||
|
|
= 7 [1 − (1 − 2! |
|
+ 4! − 6! +. . . ] = |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
= |
|
− |
|
+ |
|
|
− |
|
+. .. |
||||||
|
|
|
|
2! 5 |
4! 3 |
6! |
8! |
||||||||||||
Разложение в ряд Лорана функции ( ) в окрестности точки 0 содержит конечное число членов с отрицательными степенями . Следовательно, точка 0 = 0 является полюсом пятого порядка, т. к. наибольший показатель отрицательной степени равен 5.
1
Пример 3. ( ) = ( + 3)3 +3.
Используем разложение
= 1 + + 2 + 3 +. ..
2! 3!
Сделаем замену = + 3, получим лорановское разложение функции
( ) в окрестности |
= −3: ( ) = 3 |
|
|
1 |
= 3 |
∙ ∑∞ |
1 |
|
|
|
= 3(1 + |
1 |
|
|||||||||||||||
∙ |
|
|
|
|
|
+ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 ! |
|
|
|
||||||||||
1 |
+ |
1 |
+ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! 2 |
3! 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( ) = ( + 3)3 [1 + |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
|
|
+ |
|
1 |
|
+ |
|
|
|
1 |
|
+. . . ] |
||||||||
|
+ 3 |
2! |
( + 3)2 |
3! ( + 3)3 |
|
4! ( + 3)4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= ( + 3)3 + ( + 3)2 + |
+ 3 |
+ |
|
1 |
+ + |
1 |
|
|
|
|
+. .. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2! |
|
3! |
4! (z + 3) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Это разложение содержит бесконечное множество членов с отрицательными степенями ( + 3). Следовательно, точка 0 = −3 является существенно особой точкой функции ( ).
Таблица классификации изолированных особых точек функции
|
|
Типы ИОТ |
|
||||
|
|
||||||
По пределу |
По ряду Лорана в окрестности ИОТ |
||||||
|
|
|
|||||
|
Устранимая особая точка : |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
( ) = |
Ряд Лорана не содержит главной части, т.е. |
|||||
|
|
( ) = |
|
+ |
|
( − |
)+. .. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Полюс порядка n: |
|
||||
→ |
( ) = ∞ |
Главная часть ряда Лорана конечна, n – |
|||||
|
|
старшая степень ( − ) в знаменателе |
|||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Существенно особая точка |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
( ) не |
Главная часть ряда Лорана содержит |
|||||
|
|
бесконечное число слагаемых |
|||||
существует |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Дополнительные примеры.
1.Определить тип особой точки 0 = 0 для функции ( ) =
1−1 − 1 .
2.Указать тип особой точки 0 для функции ( ) + ( ), если точка 0 является:
а) устранимой особой точкой для ( ) и устранимой особой точкой для ( ); б) устранимой особой точкой для ( ) и полюсом для ( );
в) устранимой особой точкой для ( ) и существенно особой точкой для ( ); г) полюсом для ( ) и существенно особой точкой для ( );
д) полюсом n-го порядка для ( ) и полюсом m-го порядка для
( ).