Материал: 14 - презентация
{ |
1,2 |
= ±1 |
|
− простые нули, 5 = 0 − ноль третьего порядка. |
|||
|
|
|
|
|
|||
3,4 |
= ±√8 |
||||||
|
|
||||||
5.2. Классификация изолированных особых точек на основе поведения функции в окрестности особой точки
Определение 3. Точка 0 называется устранимой особой точкой функции( ), если существует конечный предел функции ( ) в точке 0
( ) = .
→ 0
Пример 1. Найти особые точки функции |
( ) = |
1−3 |
и установить их |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тип. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: особая точка функции ( ) есть 0 = 0. Вычислим |
|||||||||
|
1 − 3 |
= [ |
0 |
] = |
−3 |
= −3. |
|
||
|
0 |
|
|
||||||
→0 |
|
→0 |
|
|
|
||||
т.е. 0 = 0 – устранимая особая точка.
Пример 2. Найти особые точки функции ( ) |
= |
−1 |
|
|
|
|
||||||||
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||
Особая точка функции ( ) есть 0 = 0. Вычислим |
|
|
|
|
||||||||||
|
− 1 |
= [ |
0 |
] = |
−(1 − ) |
= lim − |
2 |
= − |
1 |
. |
||||
2 |
|
0 |
2 |
22 |
2 |
|||||||||
→0 |
|
→0 |
|
→0 |
|
|
||||||||
т.е. 0 = 0 – устранимая особая точка.
Определение 4. Точка 0 называется полюсом функции ( ), если
→0 ( ) = ∞.
Теорема 2. Для того чтобы точка 0 была полюсом функции ( ), необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем для функции
( ) = (1 ).
Теорема 3. Пусть ( ) является аналитической в окрестности точки 0. Если точка 0 – нуль порядка для ( ), то точка 0 – полюс порядка
|
для функции ( ) = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Замечание. Если точка 0 – полюс порядка |
для функции ( ), то точка |
|||||||||||||||||||||||
|
– нуль порядка для функции ( ) = |
1 |
|
при условии |
|
1 |
|
= 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
( 0) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отметим, |
что |
без |
последнего |
условия |
|
|
= 0 |
|
утверждение |
|||||||||||||||
( |
) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
становится |
неверным. |
|
В |
самом деле, если ( ) = |
, то |
|
= 0 – |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||
полюс первого |
порядка. |
|
Однако |
функция |
|
( ) = |
1 |
= |
|
не |
||||||||||||||
|
|
( ) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
определена при = 0.
Теорема 4. Для того чтобы точка 0 являлась полюсом порядка функции
( ), необходимо и достаточно, чтобы функцию ( ) можно было |
|||
представить в виде ( ) = |
( ) |
, где ( ) аналитична в точке и |
|
(− ) |
|||
|
0 |
||
|
0 |
|
|
( 0) ≠ 0.
Замечание. Теорема остается справедливой, если 0 – устранимая особая точка функции ( ) и существует lim→0 ( ) ≠ 0.
Например, если ( ) = , а ( ) = ( ) = , то 0 = 0 – полюс первого порядка для функции ( ).
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти особые точки функции ( ) и установить их тип ( ) = |
2+1 |
. |
|
||||||||
4−23 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: найдем нули |
функции |
1 |
= |
4−23 |
, так как |
4 − 2 3 |
= |
||||
( ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 +1 |
|
|
|
|
||
3( − 2), то функция |
1 |
|
имеет два нуля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 = 0 – |
это нуль третьего порядка, поэтому ( ) можно представить в |
||||||||||||||
виде |
( ) |
, |
где ( ) = |
2 +1 |
, |
(0) = − |
1 |
≠ 0. По теореме 4 ( ) |
в точке |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
−2 |
2 |
|
|
||||||
= 0 имеет полюс третьего порядка. |
|
|
|||||||||||||
2 = 2 – нуль первого порядка, ( ) можно представить в виде |
( ) |
, где |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
2 +1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
−2 |
||||
( ) = |
, (2) = |
≠ 0. |
По теореме 4 ( ) в точке = 2 имеет полюс |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
первого порядка.