Материал: 1364
Сравнивая результаты, убеждаемся в том, что коэффициенты вычислены правильно. Незначительная погрешность в 0,5% - результат округления тысячных или десятитысячных знаков после запятой.
Для проверки свободных членов канонических уравнений используем формулу
M1F Ms dx /EJ RnF ,
l
где M1F - эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки в статически определимой системе, полученной из заданной удалением лишних связей, в том числе и тех, реакции которых принимались за основные неизвестные в методе перемещений. Рама пять раз статически неопределима.
Построим эпюру M1F в основной системе (рис. 19). Перемножение эпюр M1F и Ms необходимо выполнить по способу Верещагина, беря площади криволинейных эпюр моментов, а ординаты линейных эпюр под центрами тяжести криволинейных.
Участок 1-2. |
|
1 |
|
4 12 |
1 |
|
|
3 |
2,25. |
|
|
|
|
16 |
|
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q=3кН м |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
F =18 |
кН |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
2,66 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F =12 |
кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
M1F |
|
7 |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 19
16
Участок 1-3. Эпюру следует разбить на две: треугольник и квадрат-
1 |
1 |
|
2 |
|
3 63 |
1 |
|
1 |
35 13,5 21,5. |
|||
ную параболу: |
|
6 35 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
12 |
2 |
2 |
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
Участок 3-5. Коэффициент равен нулю, т.к. на эпюре Ms имеются кососимметричные треугольники.
Участок 3-7. Эта эпюра разбивается на треугольник и квадратную параболу:
1 |
8 4 |
1 |
0,0833 |
1 |
8 4 |
1 |
0,833 10,666 |
1 |
0,625 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
2 |
2 |
|
|||||
10,666 1 0,125 3,331. 2
Участок 5-6. Эпюры перемножаются по правилу трапеций:
|
1,5 |
2 2 27 1 27 16,875. |
|
||
|
6 2EJ |
|
Сумма всех значений от перемножения эпюр:
2,25 21,5 3,331 16,875 0,956.
Сумма свободных членов RnF 10,83 10,125 0,25 0,955. Сравнение результатов показывает, что коэффициенты определены
верно.
6. Решение системы канонических уравнений
Подставив в систему канонических уравнений значения коэффициентов и свободных членов при делении каждого уравнения на EJ , получим:
6Z1 Z2 0,75Z3 10,83/EJ ;
Z1 4Z2 1,5Z3 10,125/EJ ;
0,75Z1 1,5Z2 1,969 0,25/EJ .
Решение этой системы дает Z1 2,174/EJ ; Z2 3,936/EJ ;
Z3 2,296/EJ .
Знаки у первой и третьей единичных эпюр изменятся на обратные, т.к. Z1 и Z2 имеют отрицательные значения.
17
7. Построение суммарной эпюры изгибающих моментов
Ординаты суммарной эпюры изгибающих моментов вычисляют по формуле:
M M1F M1 Z1 M2 Z2 M3 Z3.
Для наглядности вычислений изобразим эпюры, полученные умножением единичных эпюр на значения соответствующих неизвестных
(рис. 20).
1
2
1
2
4,348
M Z
1 1
4,348
а
7,872
M Z
2 2
2,174 
6
5
2,174 
4 
4,348 
7
5
|
6 |
|
7,872 |
3 |
4 |
|
3,936 |
7
б
Рис. 20 (начало)
18
5 |
|
3,444 |
|
|
6 |
3,444 |
|
|
1 |
3 |
4 |
1,722 |
|
|
0,861 |
M Z |
3 |
1,722 |
3 |
|||
2 |
|
|
7 |
в
Рис. 20 (окончание)
Просуммировав ординаты эпюр |
M1 Z1; M2 Z2 ; |
M3 Z3 с соот- |
ветствующими ординатами эпюры |
MF (см. рис. 11), |
получим резуль- |
тирующую эпюру моментов M (рис. 21).
|
2,253 |
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
12,359 |
|
|
|
11,320 |
|
1 |
3 |
2,171 |
4 |
7,837 |
3,856 |
5,286 |
|
7,931 |
0,243 |
|
|
M |
|
2,208 |
|
8,139 |
|
|
|
2 |
7 |
|
|
Рис. 21
19
8.Проверка эпюры изгибающих моментов
8.1. Статическая проверка
Статическая проверка в методе перемещений, в отличие от аналогичной проверки в методе сил, дает вполне надежную гарантию правильности решения задачи, но при условии, что исходные единичные и грузовая эпюры построены правильно.
Проверим равновесие узлов рамы (рис. 22).
|
|
3,856 |
5 |
11,326 |
3 |
|
2,174 |
|
2,253 |
2,253 |
|
5,286 |
|
|
|
|
|
а |
Рис. 22 |
б |
|
|
Узел 5 (рис. 22, а): M5 2,253 2,253 0.
Узел 3 (рис. 22, б): M3 2,174 5,286 11,326 3,856 0.
Погрешности нет, поэтому можно считать, что узлы рамы находятся в равновесии. Если нет уверенности в правильности построения исходных эпюр, то помимо статической проверки необходимо выполнить деформационную проверку.
8.2. Деформационная проверка
Отбросив в заданной системе лишние связи, получим основную систему (метод сил) и убедимся в отсутствии перемещений в направлении отброшенных связей, т.е. проверим, выполняется ли равенство
Mi M dx 0, l EJ
где Mi – эпюра от единичного воздействия в методе сил. Основная система показана на рис. 23.
20