Материал: 1019

3. Модель транспортной развязки На рисунке приведена схема регулируемого перекрёстка. В на-

правлениях А и С организовано 2-х рядное движение транспортных средств, в направлениях В и D – однорядное. В направлениях А и С из правого ряда возможно движение прямо и направо, а из левого ряда – прямо и налево. В направлениях В и D движение возможно только в прямом направлении. Любое транспортное средство перед перекрёстком перестраивается (меняет ряд движения) в соответствии с требуемым направлением. Средства, движущиеся в прямом направлении, выбирают ряд движения по принципу наименьшего количества впереди стоящих машин (см. рисунок).

Общие характеристики транспортных потоков приведены в таб-

лице.

Светофор меняет красный свет на зелёный и наоборот через 1 минуту. Влиянием жёлтого сигнала светофора пренебречь. Для этого предположить, что автомобиль, выехавший на перекрёсток на зелёный сигнал светофора, благополучно завершает проезд перекрёстка независимо от последующей смены сигнала светофора. Время проезда через перекрёсток составляет 10 ± 5 сек.

Построить модель регулируемого перекрёстка и определить на

ней распределения времени задержки транспортных средств, следующих в каждом из четырёх направлений. Прогон модели выполнить для 8 часов.

2.ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

2.1Практическая работа №1

«Математические задачи» по теме «Основы математического моделирования»

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 1, 2, перечень ресурсов в сети Интернет.

Цель работы: рещение математических задач.

Ход работы:

Решить следующие задачи: Задача 1:

В процессе эксплуатации ЭВМ может рассматриваться как физическая система S, которая в результате проверки может оказаться в одном из следующих состояний:

S1— ЭВМ полностью исправна;

S2 — ЭВМ имеет незначительные неисправности в оператив-

ной

памяти, при которых она может решать задачи;

S — ЭВМ имеет существенные неисправности и может решать ограниченный класс задач;

S4 - ЭВМ полностью вышла из строя;

S5 — ЭВМ находится на профилактике;

Sб — ЭВМ не работает по организационным причинам;

S7 - ЭВМ не работает, праздничные и другие нерабочие дни; S8 — ЭВМ списывается.

Рассматриваемые состояния Sj ЭВМ характеризуются средним временем Tj пребывания ЭВМ в каждом j-м состоянии.

Отношение Pj=Tj/T, где Т — возможное время работы ЭВМ в данный период (месяц, квартал, год и т. д.), можно трактовать как в е- роятность Pj нахождения ЭВМ в j-м состоянии.

Вероятности Pj являются функциями времени Pj{t). Вероят-

ность нахождения ЭВМ в состоянии P(t) = P1(t) + P2(t) может быть истолкована как вероятность безотказной работы ЭВМ, т.е. как один из показателей надежности технической системы. Возможные переходы системы. S - ЭВМ из состояния Sj в состояние Sj{i=1,2,...,n;j=1,2,...,n} описаны матрицей переходов. Соответствующие интенсивности потоков событий λ, переводящих ЭВМ из состояния Si в состояние Sj определяются по формулам. Необходимо:

1.Построить размеченный граф состояний системы 5-ЭВМ по заданной матрице переходов.

2.Определить интенсивности λ, используя формулы. Интенсивности λij определяются по формулам ijλ = 1/T, где T — среднее время пребывания системы S в i-м состоянии за данный период (месяц, квартал, год и т. п.).

3.Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова и решить ее методом Рунге—Кутта с использованием стандартной программы на ЭВМ при следующих условиях:

а) пределы интегрирования: нижний — 0, верхний — 50; б) шаг интегрирования — 0,5;

в) начальные условия: P1(t) = 1, Р2(t) = 0, j = 2, 3, ..., п;

г) результаты вывести на печать в точках 1, 5, 10, 15, ...,50 с точностью Е = 10^(-3)/

4. Получить значения вероятности безотказной работы ЭВМ Р(/) и построить график зависимости вероятности от времени.

Задача № 7:

В ремонтную мастерскую с 4 мастерами принимают не более 7 заявок в день, известно среднее число поступающих в час заявок (λ) и среднее время обслуживания (Тобс). Найти основные показатели эффективности. В таблице 1 представлены исходные данные по вариантам.

Таблица 1 – Исходные данные по вариантам для задачи № 7.

Задача № 11:

Диспетчерский пункт принимает заявки на ремонт по нескольким телефонам. Известно среднее число заявок, поступающих в час

(λ) и среднее время оформления Тоб. Требуется определить минимальное количество телефонов, при котором вероятность отказа будет

менее 10 %. При найденном значении m определить абсолютную пропускную способность и среднее количество занятых каналов. Исходные данные для задчи № 11 предствлены в таблицах 2 и 3.

Таблица 2 – Исходные данные для задачи № 11.

Указание: поскольку явно из общей формулы для нахождения вероятностей выразить m нельзя, то нужно организовать (удобно на листе Excel) пошаговую процедуру определения Рn для каждого значения m (см. формулы на стр. 32). При этом нужно найти все пром е- жуточные вероятности от Р0 до Рn. Убедиться, что их сумма равна 1 и последняя вероятность меньше 0,1.

2.2 Практическая работа №2 «Введение в математическое моделирование» по теме

«Базовые принципы математического моделирования»

Рекомендуемая литература: 1.

Перечень дополнительных ресурсов: 1, 2, 3, перечень ресурсов в сети Интернет.

Цель работы: ознакомление с теоретическим материалом по математическому моделированию.

Ход работы:

В рамках практической работы необходимо раскрыть следующие аспекты:

−Определение и задачи моделирования.

−Классификация моделей.

−Определение и назначение математического моделирования.

−Принципы и правила математического моделирования.

−Примеры ситуаций, решаемых с помощью математического моделирования.

−Бесконечное замедление.

По результатам работ составить отчет в электронном виде.

3. ТЕМЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ИТОГОВОЙ ФОРМЕ КОНТРОЛЯ

1)Понятие модели. Определение экономико-математической модели. Три примера.

2)Моделирование систем массового обслуживания. Классификация моделей СМО: одноканальные и многоканальные системы, с очередью и без очереди. Граф системы и основные характеристики.

3)При проектировании СМО с отказами число каналов обслу-

живания и производительность были рассчитаны на характерную для района интенсивность потока заявок. Но плотность заявок удвоилась. Что целесообразней удвоить количество каналов или производительность одного канала. Рассчитать характеристики систем при

n=1, λ=3/2, µ=1/2

4)Описание вида связи с помощью диаграммы рассеяния и простейших регрессионных линейных моделей. Оценка качества моделей с помощью коэффициента детерминации.

5)Организация приоритетного обслуживания в GPSS. Захват и прерывания устройства.

6)Смоделировать работу системы на языке GPSS .На обрабатывающий участок цеха поступают детали в среднем через 50 мин. Первичная обработка производится на одном из двух станков. Пер-

вый обрабатывает деталь 40 мин и имеет 4% брака, вт орой 60 мин и 8% брака. Все бракованные возвращаются на повторную обработку на 2 станок. Детали, попавшие дважды в брак, считаются отходами. Вторичная обработка занимает 100мин. Причем первый станок обрабатывает имеющиеся в накопителе детали, а второй подключается, если в накопителе больше 3 деталей. Все распределено по экспоненциальному закону. Смоделировать обработку 500 деталей.

7)Основные требования к ЭМ.

8)Матрицы переходных вероятностей, расчет вероятностей состояний системы по начальному вектору в момент времени t.