Материал: Інтеграл Фур’є

Дана формула називається формулою Фур’є.

Доведення. Зафіксуємо довільну точку , в якій існують , і розглянемо інтеграл

Функція  є для інтеграла Фур’є аналогом частинної суми ряду Фур’є періодичної функції.

Так, як функція неперервна та обмежена на всій площині змінних  та , то, згідно формули (19), в інтегралі (30) можна змінити порядок інтегрування. Зробивши це, отримаємо

Отримана формула є аналогічною до формули, яка виражає частинну суму ряду Фур’є з допомогою інтеграла Діріхле. Тому природно спробувати провести подальше дослідження по алгоритму доведення ознаки Діні про початкову збіжність ряду Фур’є.

Представивши інтеграл

у вигляді суми двох інтегралів:

і виконавши у першому з них заміну , отримаємо

Використавши, що при

отримаємо

Розглянемо, наприклад, перший інтеграл з правої частини даної рівності. Розіб’ємо його на два інтеграли:

Оскільки

то  є кусково - неперервною функцією змінної  на відрізку [0,1], тому за теоремою Рімана

 (33)

Функція  також є кусково - неперервною на будь-якому проміжку півосі  і так як

то

тобто  абсолютно інтегрована на цій півосі і, отже, в силу тієї ж теореми

В результаті збіжності інтеграла , виконавши заміну змінної , отримаємо

З (33), (34) та (35) слідує, що

Аналогічно доводиться, що

З (32) отримуємо

Границя, в лівій частині рівності, рівна інтегралу Фур’є (4), тому рівність (29) доведена.

1.2    Різні форми запису формули Фур’є

В подальшому для спрощення запису будемо вважати, що функція  абсолютно інтегрована на всій числовій осі R і у всіх її точках неперервна та має односторонні похідні.

В цьому випадку для всіх  згідно теореми 1, справедлива формула Фур’є

і так, як підінтегральна функція парна відносно змінної , то

В силу явної нерівності

при умовах накладених на функцію , існує також інтеграл

при чому, в силу ознаки Вейєрштрасса, він рівномірно збіжний на всій числовій осі змінної . Звідси слідує, що він є неперервною функцією від . Тому для будь-якого числа  існує інтеграл

при чому так, як функція парна, підінтегральна функція відносно змінної  даний інтеграл рівний нулю. Однак висунутих припущень відносно функції  не можна стверджувати про існування невласного інтеграла

Щоб отримати потрібні формули, нам доведеться ввести ще одне узагальнення поняття інтеграла.

1.3    Головне значення інтеграла

Введемо наступне означення.

Нехай функція  інтегрована на будь-якому скінченному відрізку. Якщо існує скінченна границя

то вона називається основним значення інтеграла  та позначається буквами

Зауважимо, що різниця даного означення від означення невласного інтеграла  полягає у тому, що там для функції , інтегрованої на будь-якому скінченному відрізку, інтеграл  визначався як границя інтегралів  при . Тут вимагається існування лише границь вказаних інтегралів  для окремих випадків .

Аналогічно вводиться поняття головного значення невласного інтеграла в точці: нехай  та функція  при будь-якому  інтегрована, по Ріману, на відрізках  та , тоді головне значення інтеграла  в точці  визначається за формулою

Іноді, коли дана рівність є істинною, інтеграл у розумінні головного значення визначається просто символом інтеграла без букв

Якщо для деякої функції існує невласний інтеграл, то у даної функції існує і головне значення інтеграла, яке співпадає з її невласним інтегралом. Обернене твердження не є істиною: у функції може бути головне значення інтеграла, але при цьому невласний інтеграл є розбіжним.

1.4   
Комплексна форма запису інтеграла

Повернемось до формули Фур’є і запишемо її, використовуючи поняття головного значення інтеграла, в іншому вигляді. Так, як підінтегральна функція інтеграла(38) по у непарна маємо, згідно сформульованого означення головного значення інтеграла

Домноживши обидві частини рівності на  і, використавши інтеграл (36), отримаємо

де зовнішній інтеграл розуміється, як головне значення. Формула (41) називається комплексною формою запису інтеграла Фур’є.

2. Перетворення Фур’є

Поклавши

формула (19) матиме вигляд

Функція , яка ставиться у відповідність функції  формулою

називається перетворенням Фур’є функції  і позначається  або .

В даному визначенні  комплексна функція дійсного аргументу. Зазначимо також, що функція  може набувати комплексного значення і в тому випадку, коли функція  набуває тільки дійсного значення.

Перетворення Фур’є визначено для всіх абсолютно інтегрованих функцій. Використавши, наприклад, для перетворення Фур’є функції  позначення , формулу (42) можна записати у вигляді

Дана формула дозволяє відновити саму функцію , якщо відоме її перетворення Фур’є . Вона називається формулою перетворення.

Функція , яка ставиться у відповідність функції  формулою

називається оберненим перетворення Фур’є функція  і позначається .

Перетворення Фур’є та обернене перетворення Фур’є визначені на множині функцій, в якій інтеграли (43) та (45) існують в розумінні головного значення. Зокрема, ця множина містить в собі множину всіх абсолютно інтегрованих на всій дійсній осі функцій, для яких інтеграли в формулах (43) та (45) можна вважати як звичайні невласні інтеграли, а не тільки як інтеграли в розумінні головного значення. Поняття «обернене перетворення Фур’є» доводиться тим, що перетворення  переходить у перетворення Фур’є . Уточнює дане твердження наступна лема.