Материал: Інтеграл Фур’є

Інтеграл Фур’є

1. Інтеграл Фур’є

1.1 Поняття інтеграла Фур’є для функції дійсної змінної

Нехай функція f абсолютно інтегрована на всій дійсній осі. Запишемо для неї інтеграл, відповідно ряду Фур’є, в якому сума по п замінено інтегруванням по певному параметру:

Формули (2) та (3) нагадують формули для коефіцієнтів ряду Фур’є. Інтеграл виду (1) називається інтегралом Фур’є для функції f. Підставляючи (2) і (3) і інтеграл (1), перетворимо його наступним чином:

Аналогічно як сума ряду Фур’є функції при визначених умовах рівна самій функції, інтеграл Фур’є представляє вихідну функцію.

Перш ніж це довести доведемо два допоміжних твердження.

Лема 1. Для будь-якої функції f, абсолютно інтегрованої на скінченному або нескінченному проміжку з кінцями а та b,  і для будь-якого  існує така фінітна неперервна функція g, що

Доведення. Відомо, що для будь-якої функції f, для якої виконуються умови леми 1, і для будь-якого  існує така ступінчаста функція , що

Як і будь-яка ступінчаста функція, вона є лінійною комбінацією характеристичних функцій  півінтервалів

де  числа.

Тому якщо ми доведемо що для будь-якої функції  існують такі неперервні фінітні функції , що

 (8)

та

та, поклавши

отримаємо

Із нерівностей (6) і (12) слідує, що

Крім того зі співвідношень (8) та (10) випливає, що

 (14)

В силу довільності  співвідношення (13) і (14) рівносильні співвідношенню (5). Тому достатньо довести твердження леми для характеристичних функцій кінцевих півінтервалів.

Нехай ,  характеристична функція півінтервалів

. Розглянемо неперервну на всій числовій осі функцію , графік якої зображено на рис. 1:

Для даної функції

 (15)

тобто функція  фінітна з носієм в інтервалі  і для всіх  виконується нерівність

 (16)

Виберемо  так, щоб

 (17)

тоді отримаємо

Лему доведено.

Лема 2. Якщо функція  абсолютно інтегрована на всій числовій осі, а функція неперервна і обмежена в смузі

 (18)

то:

)        інтеграл  є неперервною функцією параметра y на відрізку ;

Доведення. Покажемо неперервність інтеграла

який залежить від параметра  Виберемо довільно . В силу обмеженості функції  у смузі П існує така стала , що для всіх  виконується нерівність

 (21)

і, виходячи з цього,

Згідно умов леми, функція  абсолютно інтегрована на всій числовій осі, тому, за теоремою Вейєрштрасса, інтеграл (20) рівномірно збіжний на відрізку . Звідси випливає існування такого числа , що для всіх точок , виконується нерівність

Так, як функція  є неперервною на кінцевому прямокутнику

то вона є рівномірно неперервна на ньому. Тому існує таке , що для всіх , які задовольняють нерівність , буде виконуватись нерівність

де модуль неперервності функції  по прямокутнику . Зафіксуємо деяке значення , яке задовольняє нерівність (23).

Тепер при довільно вибраних  та  за умови

 (24)

будемо мати

Це і означає, що функція  неперервна на відрізку .

Доведемо тепер формулу (19). Перш за все слід відмітити, що, в силу доведеної неперервності функції (20), інтеграл в лівій частині рівності (19) існує (як інтеграл від неперервної функції по відрізку). Існування інтеграла в правій частині рівності (19) слідує з того, що функція

є перетворенням абсолютно інтегрованої на всі числовій осі R функції  на неперервну на R функцію

параметра .

Далі, в силу леми 1, для довільного  існує така неперервна фінітна функція , що

Для даної функції  справедливою є формула:

Покажемо, що границя лівої частини рівності (26) при  рівна , а правої . Для цього оцінимо різницю правої та лівої частин рівності (26) та їх припущених граничних значень. Маємо:

Відповідно для правої частини маємо

фур’є інтеграл алгоритм збіжність

Поклавши в (26) , отримаємо, в силу (27) і (28), рівність (19).

Теорема 1. Якщо функція f абсолютно інтегрована на всій числовій осі

R, то в кожній точці , в якій існують  та , має місце рівність