Материал: Знакопеременные ряды
Доказательство:
Определим 
как
сумму вспомогательного ряда 
, 
как
сумму 
.
Аналогично определяем 
и 
.
По определению, 
.
Раскладывая ряд по линейности на сумму положительных произведений
вспомогательных рядов и приходим к искомому утверждению.
При перемножении рядов по правилу Коши, можно ослабить требования на сходимость рядов. Установим следующую теорему:
Теорема (Мертенс):
Пусть ряд из 
-
абсолютно сходящийся, а ряд из 
- условно
сходящийся. Тогда эти два ряда можно перемножить по способу Коши.
Доказательство:
Для удобства нумеруем слагаемые рядов и
,
начиная с нуля.
Пусть 
.
Тогда сумма 
- частичная сумма
произведения рядов по правилу Коши.
Если доказать, что 
,
то из последнего равенства получается искомое.
Перебросив индексы в сумме, получаем:
Обозначим два слагаемых в последней сумме как 
и
.
Последовательность 
- бесконечно
малая, значит она ограничена, пусть числом 
.
Тогда
.
Так как ряд абсолютно
сходится, то сумма стремится к нулю при 
.
Значит, начиная с какого-то номера она не превзойдёт 
. Итого, 
.
.
, следовательно,
сумма стремится к нулю.
4. Историческая справка
Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.
Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.
Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.
Теория рядов создавалась в
тесной связи с теорией приближенного представления функций в виде многочленов.
Впервые это сделал И. Ньютон (1642 - 1727). в 1676г. В его письме к секретарю
Лондонского Королевского Общества появилась формула:
,
которую мы знаем как формулу бинома Ньютона.
Здесь мы видим функцию 
,
представленную в виде многочлена. Но если число
не является натуральным, в правой части равенства получается не полином, а
бесконечная сумма слагаемых, то есть ряд.
Развивая идею Ньютона,
английский математик Брук Тейлор (1685 - 1731) в 1715г. доказал, что любой
функции, имеющей в точке 
производные всех
порядков, можно сопоставить ряд:
.
Мы не можем пока поставить знак
равенства между функцией 
, принимающей
конечное значение для любого значения ,
и стоящим справа функциональным рядом.
Для того, чтобы вместо знака “
”
можно было поставить знак равенства, необходимо провести некоторые
дополнительные рассуждения, связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в
правой части равенства и касающиеся области сходимости ряда.
При 
формула
Тейлора принимает вид, в котором называется формулой Маклорена:
.
Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допускающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено, что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки ввести это понятие.
Например, Л. Эйлер (1707-1783),
выписав для функции соответствующий ей степенной ряд, придавал переменной 
конкретное
значение .
Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер cчитал значение исходной
функции в точке . Но это не всегда
верно.
О том, что расходящийся ряд не
имеет суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие,
и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и
расходимости. Эйлер называл ряд 
сходящимся, если
его общий член 
стремится к нулю
при возрастании 
.
В теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826г. Н.Г. Абель (1802 - 1829) называл расходящиеся ряды “дьявольским измышлением”. Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в.
В формировании понятия суммы сходящегося ряда большую роль сыграл французский ученый О.Л. Коши (1789 - 1857); он сделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и теории пределов, в разработке самого понятия предела. В 1826г. Коши заявил, что расходящийся ряд не имеет суммы.
В 1768г. французский математик и философ Ж.Л. Д’Аламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Коши в 1821г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемых теперь признаком Д’Аламбера.
Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используется признак Лейбница.
Г.В. Лейбниц (1646 - 1716),
великий немецкий математик и философ, наряду с И. Ньютоном является
основоположником дифференциального и интегрального исчисления.
Список
использованных источников
Основная:
. «Курс математического анализа», автор - Никольский С.М., г. Москва, изд. «Наука», 1990г.
2. «Высшая математика», автор - Щипачев А.В., г. Москва, изд. «Высшая школа», 1996г.
. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 1990 - 495 с.;
. Тарасов Н.П., Курс высшей математики для техникумов. М., “Наука”, 1971 - 448 с.;
. Зайцев И.Л., Курс высшей математики для техникумов. М., государственное издательство техникумов - теоретической литературы, 1957 - 339 с.;
. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 - 256 с.;
. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975 - 872 с.;
Дополнительная:
1. Гусак А.А., Высшая математика. В 2-х т., Т.2: Учебное пособие для студентов вузов. Мос., “ТетраСистемс”, 1988 - 448 с.;
2. Григулецкий В.Г., Лукьянова И.В., Петунина И.А., Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2. Краснодар, 2002 - 348 с.;
. Григулецкий В.Г. и др. Задачник-практикум по математике. Краснодар. КГАУ, 2003 - 170 с.;
. Григулецкий В.Г., Степанцова К.Г., Гетман В.Н., Задачи и упражнения для студентов учетно-финансового факультета. Краснодар. 2001 - 173 с.;
. Григулецкий В.Г., Ященко З.В., Высшая математика. Краснодар, 1998 - 186 с.;