Материал: Знакопеременные ряды

,

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,

;

;

.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

2.2 Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда

Теорема (Признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если:

Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

Общий член ряда стремится к нулю:.

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

.

Замечания.

Исследование знакочередующегося ряда вида

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на к исследованию ряда .

Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

Соотношение  позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой .

Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример. Вычислить приблизительно сумму ряда .

Решение: данный ряд Лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать:

.

Взяв пять членов, т.е. заменивна

, сделаем ошибку, меньшую,

чем. Итак,.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд

.

Если сходится ряд

,

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

.3 Упражнения

Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

;

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

и

Ряд , составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

, но

.

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

;

Решение.

Используя признак Лейбница, получим

;,

т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

.

Это геометрический ряд вида, где, который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

;

Решение.

Используя признак Лейбница, имеем

;

,

т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

, или

.

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как. Следовательно, данный ряд сходится условно.

знакопеременный ряд сходимость слагаемое

.       
Действия над рядами

Имея дело с суммой конечного числа слагаемых, можно менять слагаемые местами и расставлять скобки - от этого результат не изменится.

Числовой ряд - это сумма бесконечного числа слагаемых, и действия нужно производить с оглядкой на этот факт.

Как мы убедимся далее, абсолютно сходящиеся ряды полностью копируют поведение суммы конечного числа слагаемых, а условно сходящиеся - нет.

.1 Расставление скобок

Под "расставлением скобок" в ряде понимают буквально следующее: пусть имеется последовательность

Из построения видно, что частичная сумма ряда  является некоторой частичной суммой ряда . Если исходный ряд сходится, то и ряд с расставленными скобками сходится к той же сумме. Обратное неверно: рассмотрим ряд с расставленными скобками

Но ряд без скобок является расходящимся.

Легко установить факт: сходящийся ряд с расставленными скобками, в каждой скобке которого стоят слагаемые одного знака, сходится и без расставленных скобок.

3.2 Перестановка слагаемых ряда

Уточним, что понимается под перестановкой слагаемых ряда. Пусть  - биекция.

Дан ряд . Рассмотрим ряд . Полученный ряд называется перестановкой ряда  по правилу .

Утверждение:

Пусть ряд из  сходится к . Тогда

В силу положительности ряда  частичные суммы  ограничены.

,

следовательно, частичные суммы  ограничены, и так как все

.

Меняя местами исходный ряд на переставленный и наоборот, получаем неравенство , следовательно, .

Теорема:

Пусть ряд абсолютно сходится. Тогда любая его перестановка сходится к той же сумме.

Доказательство:

По линейности суммы ряда разложим исходный ряд на сумму двух вспомогательных:

.

Для условно сходящихся рядов ситуация меняется. Имеет место теорема Римана (приводится без доказательства):

Теорема (Риман):

Пусть ряд из  условно сходится. Тогда для любого  из  существует такая перестановка , что .

.3 Формула Эйлера

Приведём пример условно сходящегося ряда и его перестановку, которая уменьшает сумму ряда в два раза.

Установим следующую формулу:

Теорема (Эйлер):

Выполняется равенство:

,

где  называется постоянной Эйлера

Доказательство:

Рассмотрим интеграл

Воспользуемся тем, что :

По монотонности :

Итак, ряд  является положительным и мажорируется сходящимся рядом . Значит, этот ряд сходится.

В выражении  при предельном переходе и получаем искомую формулу, обозначая

.4 Перестановка, меняющая сумму ряда

Утверждение:

Представленный ряд сходится, так как является рядом Лейбница. Пусть он сходится к , тогда , но:

Переставим ряд следующим образом: за каждым слагаемым с нечётным номером пишем два последовательных слагаемых с чётными номерами

Утверждение:

Сумма этого ряда равна

Так как общее слагаемое ряда стремится к нулю, то достаточно показать, что сходится ряд с расставленными скобками:

Рассмотрим частичную сумму ряда с расставленными скобками:

3.5 Перемножение рядов

Две суммы из конечного числа слагаемых перемножаются почленно. Для бесконечного числа слагаемых необходимо формализовать процесс перемножения.

Организуем бесконечную матрицу из чисел . Пусть  - правило обхода матрицы, по которому матрицу можно развернуть в строку, то есть ряд, сумму которого можно посчитать (при сходимости такого ряда).

Если сумма такого ряда равна произведению сумм исходных рядов, то говорят, что два ряда можно перемножить по способу .

Важнейший способ перемножения - способ Коши произведения по диагонали:

Теорема:

Пусть положительные ряды  абсолютно сходятся и имеют суммы  и . Тогда их можно перемножить любым способом .

Доказательство:

Используя положительность рядов, ведём рассуждения для достаточно большого количества слагаемых частичных сумм.

Так как в любую наперёд заданную клетку мы попадём, то ясно, что через некоторое количество шагов все клетки некоторого левого верхнего квадрата уже будут пройдены.

Сумма элементов квадрата  не превосходит частичной суммы, которая, в свою очередь не превосходит суммы элементов окаймляющего квадрата. Но, если устремить  к бесконечности, то частичная сумма ряда по принципу сжатой переменной стремится к , что и требовалось доказать.

Теорема:

Пусть ряды из  абсолютно сходятся и имеют суммы  и . Тогда их можно перемножить любым способом .