Утрехтский Университет
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
ВЗАИМОДЕЙСТВУЕТ ЛИ РЕАЛЬНАЯ ФОРМА С ИДЕАЛЬНОЙ? ИССЛЕДОВАНИЕ ОВЛАДЕНИЯ СЧЕТОМ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ С ПОМОЩЬЮ ЗАПИСИ ДВИЖЕНИЙ ГЛАЗ
А.Ю. ТИВАРТТ
Москва
Резюме
В статье рассматривается проблема овладения математическим знанием на примере обучения дошкольников счету на числовой прямой. С помощью записи движений глаз раскрывается многообразие стратегий определения числа на числовой прямой. Показано существенное различие между стратегиями, используемыми взрослыми, стратегиями, используемыми в процессе обучения, и стратегиями детей после обучения (X = 44.936;р < 0.001). Выявленные различия в стратегиях по ряду параметров (направление пересчета вверх или вниз по числовой прямой, положение целевой точки в начале или в конце счета) свидетельствуют о том, что самостоятельные решения детей после обучения в большей степени похожи на решения задач взрослыми, чем стратегии, предложенные при обучении. Анализ данных о движениях глаз и видео совместной деятельности родителей и детей в ходе формирующего эксперимента показывают, что взрослые формируют способ восприятия числовой прямой детьми с помощью жестикуляции и синхронизированных с ней вербальных указаний. Однако родители не раскрывают в ходе обучения идеальную форму, т.е. многообразие стратегий, характерное для взрослого восприятия, а выстраивают базовую, учебную форму действия, надежно доступную ребенку. Несмотря на это, дети самостоятельно дополняют предложенную взрослыми базовую стратегию пересчета другими стратегиями, основываясь на интегральном представлении о числе. Недоступной оказывается лишь стратегия, требующая принципиально иного способа действия: рассмотрения числовой прямой как системы равных интервалов, а не последовательного ряда чисел. Согласно результатам нашего исследования, идеальная, культурная форма восприятия существует в скрытом виде, ребенку необходимо самостоятельно переоткрывать ее, как используя предложенную взрослым базовую стратегию пересчета, так и встраивая конкретную задачу в целостную систему знаний. математический знание восприятие прямая
Ключевые слова: культурно-исторический подход, Выготский, математическое образование, обучение, идеальная форма, совместная деятельность, числовая прямая, математическое понятие, движения глаз, окулография.
Annotation
Does the Real Form Interact with the Ideal Form? A Study of the
Teaching-Learning to Count on the Number Line by Means
of Eye-Tracking
A.Yu. Shvarts
Utrecht University, 5 Princetonlaan
Lomonosov Moscow State University
The article investigates acquisition of mathematical knowledge in collaboration with an adult as it is exemplified by preschoolers' learning to count on the number line. A qualitative analysis of the eye-movements reveals the diversity of possible strategies in determination of a number on the number line. The developmental experiment discloses the mechanisms of emergence of these strategies in children. The quantitative comparison of the adults' strategies, the strategies, which are involved in the teaching-learning process, and the strategies that the children used after the learning stage demonstrates the process of development (x2= 44.936; p <.001). We distinguished the statistically significant differences between the stages in the ratio of counting up versus down along the number line and in the ratio of counting from versus towards the target point. The results demonstrate that children's strategies after the learning stage are more similar to the adults' inherent strategies than to the strategies that were introduced by the adults during the teaching stage. The analysis of the videos of shared activity that was synchronized with the eye movements showed that the adults demonstrated the basic strategy to the children at the teaching phase as they guided children's perception by their pointing gestures and speech. However, the adults did not expose the ideal form, namely the diversity of their own strategies during their teaching. Nevertheless, the children were able to supplement the given teaching/learning form of counting from zero up along the number line to the target point with a variety of strategies by themselves, relying on their coherent notion of the number concept. The strategy that required the sequence-to-proportion shift was the only one that children were not able to constitute by themselves. According to our results, the ideal, cultural form of perception exists in the latent form, and a child needs to re-constitute it in their own practice. The children rely on the basic strategy and enrich this strategy as they include it in the integral conceptual knowledge about numbers. The results enrich our understanding of microgenesis of mathematical knowledge during the collaboration with an adult and open perspective on learning as an active reinvention of ideal form on the ground of cultural practice.
Keywords: cultural-historical approach, Vygotsky, mathematics education, teaching, learning, ideal form, shared activity, number line, mathematical concept, eye-tracking, oculography.
Основная часть
Исследование математических способностей и обучения математике находится на стыке психологии развития, когнитивной психологии и наук об образовании. Интрига совмещения проблематики и инструментария этих областей в том, что результаты такого совмещения одновременно проясняют фундаментальные закономерности человеческого развития и позволяют делать конкретно-практические выводы, способствующие совершенствованию образовательного процесса. Согласно современным представлениям (Duval, 2006; Hitt, 1998; Presmeg et al., 2016; Radford, 2010; и мн. др.), математическое знание является мультимодальным и формируется как единство множества моделей или репрезентаций, представленных в формальной, вербальной, визуальной, тактильной форме. Наше исследование посвящено изучению процессов овладения одной из таких репрезентаций понятия числа -- числовой прямой. Формирующий эксперимент в духе Л.С. Выготского позволяет описать процесс развития и приблизиться к пониманию значения взаимодействия различных компонентов понятия числа в обучении.
Пространственные представления о числовой прямой в составе понятия числа
Согласно данным экспериментальных и клинических исследований, пространственные представления являются существенной составляющей понятия числа, а также того, что принято называть чувством числа (number sence). Результаты исследований А.Р Лурии (1962) показывают, что арифметические операции разрушаются при поражении теменно-затылочных долей мозга, ответственных за пространственные представления. Пациенты с такими поражениями путают зрительно схожие числа (такие как 69 и 96), а также затрудняются в понимании разрядного строения чисел. Кроме того, возникают ошибки, вызванные разрушением представления о направлении счета, т.е. о последовательном и направленном расположении чисел в числовом ряду и на числовой прямой. Так, при вычитании с переходом через десяток они могут вычесть до десятка, а потом прибавить, двинувшись в другую сторону (например, вычисляя 31--7, они считают 30--7 и потом вычитают еще 1 вместо того, чтобы прибавить, и получают 22 вместо 24).
Современные исследования с использованием методов нейровизуализации подтверждают эти данные и показывают, что активация внутритеменной борозды связана с различными арифметическими операциями. В частности, латеральная часть этой области мозга, вероятно, выполняет функцию прослеживания вдоль числовой прямой, сходную с прослеживанием на визуальной сцене при оперировании другими мысленными образами (Hubbard et al., 2005).
С этим выводом согласуются данные поведенческих экспериментов. Феномен, известный как SNARC-эффект (Dehaene et al., 1993), заключается в том, что испытуемые отчитываются о маленьких числах быстрее, если числа (или вербальная запись числа -- Fias, 1996) предъявлены в левое полуполе, и быстрее о больших числах, если они предъявлены в правое полуполе. Предполагается, что, даже решая задачу, не требующую активации представления о величине числа, испытуемые связывают число с его положением на числовой прямой или в числовом ряду. Аналогичные данные были получены при анализе поворота глаз испытуемыми в темной комнате, т.е. при отсутствии внешней зрительной стимуляции. Решая задачу на нахождение числа посередине между двумя числами, они совершали горизонтальные саккады, причем если первое названное число было больше, то саккады совершались преимущественно справа налево, как будто двигаясь к среднему по мысленной числовой прямой (Loetscher et al., 2008).
Возникновение представлений о числовой прямой в онтогенезе
Каким образом возникают пространственные представления о числе? Одним из механизмов является освоение числовой прямой -- одной из внешних визуальных репрезентаций, или моделей, понятия числа. Серия исследований об оценке положения числа на числовой прямой вскрывает основные стратегии и очередность их появления в ходе обучения.
В целом выделяются такие стратегии, как счет от начальной точки, счет от конечной точки и счет от середины отрезка.
Первыми в онтогенезе появляются стратегии отсчета от начальной или конечной точки. Способность уже первоклассников использовать конечные точки показана в ряде исследований (Link et al., 2014; Petitto, 1990; Schneider et al., 2008; и др.). Согласно выводам некоторых авторов (Schneider et al., 2008), дети, уже начиная с первого класса, также могут использовать и серединную точку для нахождения числа на числовой оси, согласно другим данным (Petitto, 1990; Siegler, Opfer, 2003), первоклассники не используют серединную точку.
Более детальный анализ когнитивных операций, лежащих за представлениями о числовой прямой, в отличие от числового ряда, показывает, что использование срединной точки содержит представление не только о последовательном расположении чисел слева направо, но также об относительных расстояниях между числами. Такой сдвиг от представления о последовательности к представлению о пропорциональном соотношении (sequence-to-proportion shift) наблюдается только к третьему классу1, когда дети для оценки положения числа на отрезке числовой прямой начинают использовать срединную точку, опираясь на равенство интервалов от нее до концов отрезка (Petitto, 1990).
Другой объяснительной конструкцией по сути того же феномена является предположение, что мысленное представление о логарифмическом расположении чисел на числовой прямой постепенно сменяется адекватным линейным представлением. Так, если в втором и четвертом классе превалирует скопление чисел в начале числовой оси (как если бы использовалась логарифмическая линейка для оценки длины), то к шестому классу это проходит и числа оказываются распределены равномерно, то же наблюдается и у взрослых испытуемых (Siegler, Opfer, 2003).
Третий класс в США посещают дети 8-9 лет.
В ряде работ используется метод регистрации движений глаз при выполнении заданий на оценку положения числа на числовой прямой. Согласно этим данным, дети уже начиная с первого класса чаще фокусируются на концах отрезка числовой прямой, а также на срединной точке, используя все три положения как точки ориентации. При этом превалирующей стратегией является счет от 0 или от середины до целевой точки (Schneider et al., 2008). Данные о движениях глаз, полученные той же группой исследователей (Heine et al., 2010), свидетельствуют о линейных представлениях о расположении чисел на числовой прямой уже в первом классе, несмотря на соответствие поведенческих данных логарифмической модели. Можно говорить, что данные о движениях глаз вскрывают раннее созревание определенных операций, которое может еще не проявляться в итоговом ответе и обнаруживаться в поведенческих данных только более старших возрастных групп. Это соответствует данным C. Голдин-Медоу (см., например: Goldin-Meadow, 1999): телесная (embodiment) подготовка математических знаний и навыков предвосхищает их эксплицитное проявление при непосредственном тестировании.
Как можно видеть, большинство исследований посвящено изучению числовой прямой как уже сформированному ментальному образу, позволяющему выносить некоторые суждения о числах. Нас интересуют механизмы возникновения этого образа и стратегий работы с ним.
Как указывает Л.С. Выготский, «величайшая особенность детского развития заключается в том, что это развитие совершается в таких условиях взаимодействия со средой, когда идеальная форма, конечная форма... реально взаимодействует, реально оказывает влияние на первичную форму, на первые шаги детского развития» (Выготский, 2001, с. 83-84). Идеальная форма -- это не записанные правила или определения, хранящие культурное достояние, но сами формы поведения, деятельности, существующие в культуре, окружающей ребенка, такие как речевая деятельность, оперирование бытовыми предметами и знаковыми системами со стороны взрослых. В приложении к освоению математического знания к идеальной форме следует отнести математические действия, в частности, действие пересчета и другие способы количественной оценки, присущие культурному поведению взрослых.
Каким образом происходит усвоение этой идеальной формы? Согласно Выготскому, идеальная форма усваивается в ходе совместной деятельности со взрослым, который раскрывает ее в интерпсихическом взаимодействии с ребенком. В психологии математического образования значительное внимание уделяется микроанализу процессов этой совместной деятельности, в которой ребенок научается воспринимать математические изображения и знаки так же, как взрослый. Л. Радфорд (Radford, 2010) вслед за К. Марксом рассматривает этот процесс как «окультуривание» (domestication) органов чувств в ходе социальной практики. Исследуя видео- и аудиозаписи совместной деятельности учителя и ученика, Радфорд показывает, как все семиотические регистры (визуальная репрезентация, жесты, интонации, их ритм и др.) соединяются вместе, позволяя ребенку наполнить визуальную репрезентацию смыслом, выделить ее существенные аспекты и объективировать (objectification) математическое содержание изображения. B.-M. Рош (Roth, 2008) детально анализирует, как просодические характеристики речи направляют внимание слушающего и как при этом внимание к одним и тем же частям диаграммы может сопровождаться различными жестами, делающими наиболее выпуклыми необходимые аспекты математического смысла. Р Бюланд (Bjuland, 2012) подчеркивает значение жестов учителя, включенных в мультимодальную коммуникацию, для формирования ранних алгебраических представлений у учеников, а также показывает, как жесты одного ученика становятся средством переосмысления задачи для другого ученика.