Статья: Временная локализация дефектов опор жидкостного трения на основе непрерывного вейвлет-преобразования

Временная локализация дефектов опор жидкостного трения на основе непрерывного вейвлет-преобразования

Широков С.В., Соломин О.В., Данчин И.А.

До недавнего времени основным способом анализа сигналов являлось преобразование Фурье, а также его разновидность - оконное преобразование Фурье (ОПФ) [1]. В основе преобразования Фурье лежит декомпозиция сигнала на комплексные экспоненциальные функции различных частот. В результате преобразования Фурье временное представление сигнала заменяется его частотным представлением (спектром).

Несмотря на широкое использование преобразования Фурье, оно имеет ряд недостатков. К примеру, при исследовании нестационарных сигналов важно не только знать, какие частоты в нем присутствуют, но и в какие моменты времени, в отличие от стационарных сигналов, где частотные составляющие присутствуют в любой момент времени. В том случае, если отсутствуют дефекты подшипниковых узлов, то роторные машины на установившемся режиме работы производят, как правило, стационарные вибрационные сигналы [2]. В случае наличия дефектов, и в моменты разгона и выбега ротора сигнал является нестационарным. Поскольку именно режимы разгона и выбега ротора, а также выявление различных дефектов является одним из важнейших этапов определения технического состояния роторного оборудования, то основным предметом вибрационной диагностики являются нестационарные вибрационные сигналы.

Сравнительно недавно появился новый способ анализа сигналов - вейвлет-анализ [3-5]. Вейвлеты используют в тех случаях, когда результат анализа какого-либо сигнала должен содержать не только простое перечисление его характерных частот (масштабов), но и сведения об определенных локальных координатах, при которых эти частоты проявляют себя. Таким образом, анализ и обработка нестационарных (во времени) или неоднородных (в пространстве) сигналов разных типов представляют собой основное поле применений вейвлет-анализа [5]. Вейвлеты - это вид функций, которые должны обладать следующими свойствами:

1. Иметь вид коротких, локализованных во времени функций с нулевым значением интеграла.

2. Обладать возможностью сдвига по времени

3. Способность к масштабированию (сжатию/растяжению)

4. Иметь ограниченный (локальный) спектр

Именно за счет изменения масштабов вейвлеты способны выявить различие в характеристиках на разных шкалах, а путем сдвига проанализировать свойства сигнала в разных точках на всем изучаемом интервале. При анализе нестационарных сигналов за счет свойства локальности (в отличие от синусоид, которые определены на всем промежутке времени) вейвлеты получают существенное преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает нам только глобальные сведения о частотах (масштабах) исследуемого сигнала, поскольку используемые при этом функции определены на бесконечном интервале. Это позволяет анализировать локальные свойства сигнала (разрывы, изменение знаков первой и второй производных и т.д.), тогда как преобразование Фурье не дает никакой информации, например, о том в какой момент времени частота сигнала изменилась [3].

Рис. 1

Одним из часто используемых преобразований является непрерывное вейвлет-преобразование (НВП или CWT - Continue Wavelet Transform). Оно выполняется аналогично оконному преобразованию Фурье [4], в том смысле, что сигнал перемножается с функцией (вейвлетом), так же как с оконной функцией при ОПФ, и преобразование выполняется раздельно для разных участков времени.

Вейвлет-функция (обозначаемая чаще всего) создается на основе той или иной базисной функции , которая определяет тип вейвлета. Базисная функция должна обеспечивать выполнение двух основных операций, которые можно представить как [5]:

1. смещение по оси времени t: при ;

2. масштабирование: при a>0 и .

Параметр а задает ширину вейвлета (рисунок 1), а b - положение вейвлета относительно оси времени. Следующее выражение задает сразу два этих свойства функции :

.

Таким образом, для заданных а и b функция и есть вейвлет. На рисунке 2 приведены несколько распространенных вейвлетов [6].

Рис. 2 - Вейвлеты: а) Добеши 5-го порядка; б) «Мексиканская шляпа»; в)Морле

Рис. 3

Прямое непрерывное вейвлет-преобразование сигнала x(t) проводят по следующему алгоритму (рисунок 3):

Непрерывное вейвлет-преобразование задается по формальной аналогии с преобразованием Фурье, путем вычисления вейвлет-коэффициентов по формуле:

.

программный вейвлет сигнал экспоненциальный

На сегодняшний день существует множество программных продуктов, которые позволяют выполнять вейвлет-преобразование: Maple, MathCAD, LabVIEW и др.

По мнению авторов, наиболее подходящим программным продуктом для использования вейвлетов в анализе вибрационных сигналов является система компьютерной математики MATLAB [7,11,12]. Данный система имеет ряд существенных преимуществ перед узкоспециализированными программами.

Во-первых, одним из ключевых моментов является то, что MATLAB позволяет осуществлять загрузку экспериментальных данных (вибрационного сигнала) в виде двоичных файлов, в виде ASCII-кодов и т.д. Таким образом, при работе с СКМ MATLAB нет необходимости использовать какие-то определенные аппаратные средства, а также можно анализировать экспериментальные данные полученные ранее. Во-вторых, в данном программном продукте существуют специальные функции для работы с непрерывным и дискретным вейвлет-преобразованием, работать с которыми можно прямо из командной строки. В-третьих, удобные и наглядные средства визуализации позволяют наилучшим образом представить анализируемые данные в графическом виде. В четвертых, обширный выбор вейвлет-функций в отличие от других программных продуктов. В пятых, в MATLAB существует отдельный модуль (Wavelet Toolbox) ориентированный на работу с вейвлетами. Запускается этот модуль из командной строки командой wavemenu. После этого появится главное интерфейсное окно Wavelet Toolbox, представленное на рисунке 4.

Рис. 4 - Главное интерфейсное окно Wavelet Toolbox

В пакете Wavelet Toolbox реализованы все функции, доступные из командной строки. Так, например, нажав на кнопку «Wavelet Display» можно просмотреть информацию о всех вейвлетах доступных с системе MATLAB. Кнопка «Wavelet 2-D» открывает окно для работы с двухмерным вейвлет-преобразованием, которое используется в основном для работы с изображениями. Подробнее об остальных компонентах пакета Wavelet Toolbox можно узнать в работе [3].

После нажатия на кнопку «Continuous Wavelet 1-D» появится интерфейсное окно для работы с непрерывным вейвлет-преобразованием. В правой части этого окна находятся параметры, которые необходимо установить для проведения непрерывного вейвлет-преобразования. Рассмотрим эти параметры более подробно.

Табл. 1

Проведем анализ нестационарного сигнала с тремя частотными компонентами приведенного на рисунке 2а, используя непрерывное вейвлет-преобразование. Результат показан на рисунке 5.

В данном примере в качестве анализирующего вейвлета был выбран вейвлет Добеши 5-го порядка. Частота дискретизации составляет 1000 Гц, количество рассчитываемых коэффициентов равно 64. Полученный график называется скейлограммой (от англ. scale - масштаб) [8]. Скейлограмма является трехмерным графиком, где по оси абсцисс отложены отсчеты сигнала, т.е. фактически время, по оси ординат - номера вейвлет-коэффициентов (масштабы), т.е. частота, а цвет характеризует величину определенного вейвлет-коэффициента [6].

Рис. 5

На скейлограмме отчетливо видно в какой момент времени присутствует каждая частота. Такую локализацию частоты во времени, используя преобразование Фурье получить не удается. Так, например, видно, что вторая гармоника присутствует в сигнале начиная примерно с 520 отсчета. Зная частоту дискретизации сигнала можно определить момент времени, в который данная частота появилась: 520/1000=0,52 с.

Рис. 6

Однако, несмотря на то, что вейвлеты в данной ситуации значительно превосходят Фурье-преобразование по информативности, отчетливо проявляется самый существенный недостаток вейвлет преобразования - время, требуемое для расчета вейвлет-коэффициентов. Ниже приведен сравнительный анализ затраченного времени для расчета коэффициентов для преобразования Фурье и для непрерывного вейвлет-преобразования. На рисунке 6 представлен график зависимости времени выполнения Фурье-преобразования от количества коэффициентов.

Рис. 7

Как видно из графика для выполнения преобразования Фурье требуется менее секунды даже при расчете 512 коэффициентов. На рисунке 8, справа, приведена такая же зависимость, но для непрерывного вейвлет-преобразования. В качестве материнского вейвлета использовался вейвлет Добеши 5-го порядка. Из графика отчетливо видно, что при малом количестве коэффициентов (32 и 64) время выполнения НВП также достаточно мало. Но, при увеличении числа коэффициентов время выполнения резко возрастает. Так для расчета 512 коэффициентов требуется почти 7,5 секунд. Также необходимо отметить, что время выполнения НВП зависит не только от количества коэффициентов, но и от типа выбранного вейвлета. На рисунке 7 приведено время выполнения преобразования для пяти наиболее распространенных вейвлетов. Для всех вейвлетов количество рассчитанных коэффициентов равно 256. Из рисунка видно, что быстрее всех выполняет вейвлет-преобразование для вейвлета Хаара. Это связано с тем, что функция Хаара является самым простым вейвлетом из известных на сегодняшний день. Определение количества коэффициентов необходимых для расчета является одной из ключевых позиций при использовании вейвлет-преобразования. Количество вейвлет-коэффициентов, которые необходимо рассчитывать при анализе сигнала, зависит от того какие частоты необходимо выделить на скейлограмме. Масштаб, на котором будет проявляться на скейлограмме определенная частота зависит от частоты дискретизации, с которой был снят сигнал, и от центральной частоты вейвлета, который выбран для анализа. Зная частоту дискретизации сигнала, центральную частоту вейвлета и частоту, которую необходимо выявить, номер масштаба можно вычислить по следующей формуле:

На рисунке 8 представлен график зависимости масштаба от частоты для различных вейвлетов при частоте дискретизации анализируемого сигнала 12,5 кГц. На графике по оси абсцисс отложены гармоники частоты 50 Гц. Из рисунка можно сделать вывод какой вейвлет в каком случае лучше выбрать для анализа. Так если необходимо исследовать только первую и вторую гармоники исходного сигнала целесообразно использовать вейвлет «мексиканская шляпа», т.к. для этого достаточно рассчитать около 70-80 коэффициентов, что значительно меньше, чем для других вейвлетов. В тоже время, с помощью этого вейвлета практически невозможно исследовать гармоники выше четвертой, т.к. они проявляются при слишком малых значениях коэффициентов и будут сливаться с шумом. Но, например, при использовании вейвлета Хаара или Морле, можно исследовать гармоники вплоть до седьмой и восьмой.

Проиллюстрируем выше сказанное на примерах. Проанализируем вибрационный сигнал, снятый с роторной установки на опорах жидкостного трения [9] (рисунок 9).

Рис. 8

Экспериментальный сигнал был снят с частотой дискретизации 12500 Гц, поэтому перед расчетом необходимо указать период дискретизации (Sampling period) равный 1/12500. В качестве материнского был использован вейвлет Добеши 5-го порядка.

Рис. 9

В данном примере было рассчитано 256 вейвлет-коэффициентов из 4096 возможных. Скейлограмма, представленная на рисунке 9, выявляет некоторую особенность сигнала в районе 250 масштаба, что соответствует частоте 33 Гц. Но в данном случае скейлограмма является не законченной (обрезана верхняя часть). Очевидно, что при использовании этого вейвлета, для получения полной скейлограммы необходимо рассчитать большее количество коэффициентов. Используя соответствие частоты и масштаба, приведенное на рисунке 8, для анализа этого сигнала целесообразно использовать в качестве «материнского» - вейвлет «мексиканская шляпа», т.к. при количестве вейвлет-коэффициентов равным 256 получается законченная скейлограмма со всеми особенностями сигнала (рисунок 10). В данном случае количество вейвлет-коэффициентов равное 256 является даже избыточным, достаточно было рассчитать порядка 150 коэффициентов.

Рис. 10

Далее рассмотрим сигнал представленный на рисунке 11а, а также его спектральное представление (рисунок 11б).

Данный сигнал был снят с частотой дискретизации 12,5 кГц. Частота вращения ротора 55 Гц, о чем свидетельствует характерный пик на спектре. Но, на спектре также присутствует пик на частоте примерно 25-26 Гц. Возникновение вибрации на данно частоте свидетельствует о развитии дефекта, который называется «Oil whirl» (неустойчивость вихревой смазки) [10]. Однако, по спектру сигнала невозможно сказать когда начал развиваться данный дефект. Проанализируем этот же сигнал, используя вейвлет-преобразование. В результате получим следующую картину (рисунок 12).